ベクトル値実関数との対比

R2\mathbb{R}^2とC\mathbb{C}を同一視する

集合として、また連続性についてはどちらでも同じ。

一次関数f(z)=αz+βf(z)=\alpha z+\betaは、α=a+bi,β=c+di\alpha=a+bi, \beta=c+diとおくと、

αz+β=(a+bi)(x+yi)+(c+di)=(ax−by+c)+(ay+bx+d)i\alpha z+\beta=(a+bi)(x+yi)+(c+di)=(ax-by+c)+(ay+bx+d)i

である。

対応するベクトル値関数は

(ax−by+cay+bx+d)\begin{pmatrix} ax-by+c\\\\ ay+bx+d \end{pmatrix}

これは行列を用いると

(a−bba)(xy)+(cd)\begin{pmatrix} a&-b\\\\ b&a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\\\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c\\\\ d \end{pmatrix}

である。

さらに、

(a−bba)=a2+b2(a/a2+b2−b/a2+b2b/a2+b2a/a2+b2)\begin{pmatrix} a&-b\\\\ b&a \end{pmatrix} =\sqrt{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a/\sqrt{a^2+b^2}&-b/\sqrt{a^2+b^2}\\\\ b/\sqrt{a^2+b^2}&a/\sqrt{a^2+b^2} \end{pmatrix}

であり、

(a/a2+b2−b/a2+b2b/a2+b2a/a2+b2)\begin{pmatrix} a/\sqrt{a^2+b^2}&-b/\sqrt{a^2+b^2}\\\\ b/\sqrt{a^2+b^2}&a/\sqrt{a^2+b^2} \end{pmatrix}

は行列式が11の直交行列である。