広義一様収束

さらに、zzに関して広義一様収束することも証明できる。

広義一様収束は極限の交換を行うための一つの十分条件である。 これを用いて冪級数の項別微分や項別積分を正当化できる。

任意のϵ>0\epsilon>0に対し、ある自然数NNと実数KKが存在し、 任意の自然数n≥Nn\geq Nと任意の複素数zzで∣z∣<K\lvert z\rvert < Kなるものに対し、

∣∑k=0nakzk−f(z)∣<ϵ \lvert \sum_{k=0}^na_kz^k-f(z)\rvert < \epsilon

が成り立つ。

一様収束は一様ノルムについての収束で、一様ノルムについてのコーシー列であることから一様ノルムについての収束を導くことができる。 まず、冪級数の部分和をsn(z)=∑k=0nanzns_n(z)=\sum_{k=0}^na_nz^nとしよう。 これについて、

sup⁡z∣sn(z)−sm(z)∣=sup⁡z∣∑k=nmakzk∣≤sup⁡z∑k=nm∣ak∣∣z∣k \sup_z\lvert s_n(z)-s_m(z)\rvert=\sup_z\lvert \sum_{k=n}^ma_kz^k\rvert\leq\sup_z\sum_{k=n}^m\lvert a_k\rvert\lvert z\rvert^k

が成り立つ。 ∣zk∣\lvert z_k\rvertが00以上の実数なので、最右辺のsup⁡\supは∣z∣\lvert z\rvertが最大となるzzでとる。 これが収束半径の中なら、n,m→∞n, m\to\inftyで00に収束することがいえて、sns_nが一様ノルムについてのコーシー列であることがわかる。 各点収束先をs(z)s(z)とする。 任意のϵ>0\epsilon>0に対しある自然数NNが存在してn,m>Nn, m>Nとzzに対して

∣sn(z)−sm(z)∣<ϵ \lvert s_n(z)-s_m(z)\rvert < \epsilon

となる。 この式で、n→∞n\to\inftyの極限をとると、

∣s(z)−sm(z)∣≤ϵ \lvert s(z)-s_m(z)\rvert \leq \epsilon

となり、一様収束することがわかる。

この議論は次のように一般化できる。 （ワイエルシュトラスのMMテスト）

関数列fnf_nに対し、正の実数列MnM_nであって、∥fn∥≤Mn\lVert f_n\rVert\leq M_nかつ∑nMn\sum_nM_nがが収束するものがあれば、fnf_nは一様収束する。 fnf_nの部分和についてコーシー列であることがMnM_nを用いた評価で証明できる。

項別微分可能性については一様収束に関する議論を行わず直接証明することもできる。