三角関数

複素関数としての三角関数を定義しよう。

上の指数関数の定義において、実数θ\thetaにたいし、eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\thetaとなることから、

eiθ+e−iθ2=cos⁡θ \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=\cos\theta eiθ−e−iθ2i=sin⁡θ \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}=\sin\theta

が成り立つ。

そこで、同じ式用いてそのまま複素数に拡張する。

cos⁡z=eiz+e−iz2 \cos z = \dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} sin⁡z=eiz−e−iz2i \sin z = \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}

すると、これは実数に対する三角関数と同様に、周期2π2\piをもち、加法定理が成り立つことが、指数関数の周期性と指数法則からわかる。

cos⁡(z+2π)=cos⁡z \cos (z + 2\pi) = \cos z sin⁡(z+2π)=cos⁡z \sin (z + 2\pi) = \cos z cos⁡(z+w)=cos⁡zcos⁡w−sin⁡zsin⁡w \cos (z + w) = \cos z \cos w - \sin z \sin w sin⁡(z+w)=sin⁡zcos⁡w+sin⁡wcos⁡z \sin (z + w) = \sin z \cos w + \sin w \cos z