冪級数の項別微分と項別積分

冪級数により定まる関数（関数の冪級数展開）について、その微分や積分は容易に計算できる。 極限の順序交換について議論する必要がある。 特に、関数が冪級数展開できる場合、何回でも微分可能である。

冪級数により定まる関数f(z)=∑n=0∞anznf(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^nの収束半径がR>0R>0であるとする。 このとき、収束円板上で連続であり、正則で、

f(ˊz)=∑n=0∞nanzn−1=∑n=0∞(n+1)an+1znf\'(z)=\sum_{n=0}^\infty na_nz^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty(n+1)a_{n+1}z^n

が成り立ち、これも同じく収束半径RRである。

∣f(z)−f(a)∣≤∑n=0∞∣an∣∣zn−an∣≤∣z−a∣∑n=0∞n∣an∣rn−1\lvert f(z)-f(a)\rvert\leq \sum_{n=0}^\infty\lvert a_n\rvert\lvert z^n-a^n\rvert\\\\ \leq\lvert z-a\rvert\sum_{n=0}^\infty n\lvert a_n\rvert r^{n-1}

より連続。

f(z)−f(a)z−a=∑n=1∞an(zn−1+⋯+an)\frac{f(z)-f(a)}{z-a}=\sum_{n=1}^\infty a_n(z^{n-1}+\cdots+a^n)

とおくと、これは収束し、連続である。

特に収束冪級数は解析的である。 f(z)=∑n=0∞an(z−α)nf(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^nとすると、an=1n!f(n)(α)a_n=\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(\alpha)である。