孤立特異点の分類

孤立特異点を除去可能特異点、極、真性特異点の三種類に分類する。これはローラン級数展開の主要部の様子による分類である。また同値な条件だが、特異点に近づくときの関数の振る舞いによった他分類でもある。

除去可能特異点は本質的には特異点ではないような孤立特異点で、その点まで正則に関数を延長できる。極はその特異点に近づくときに関数が無限大に発散するような孤立特異点で、特異性を持つが比較的扱いやすい。真性特異点はこれらに比べて扱いにくい特異点である。

孤立特異点 $a$ におけるローラン展開の主要部が $0$ なとき除去可能特異点、有限和であれば極、無限和であれば真性特異点である。

また $z\to\alpha$ での $f$ 振る舞いは、除去可能特異点なら有限値に収束、極なら $\infty$ に発散、真性特異点なら近づき方によっていろんな値になることが示せる。

除去可能特異点

$z=a$ が $f(z)$ の孤立特異点であり、 $z=a$ を含めた領域で正則な函数 $g(z)$ が存在して、 $z\neq a$ では $f(z)=g(z)$ であるとき、 $z=a$ は除去可能特異点であるという。

要するに除去可能特異点は見かけ上特異点のようになっているが、実際のところ特異点ではないものである。

$\dfrac{e^z-1}{z}, \dfrac{\sin z}{z}$ など。 $z=0$ が除去可能特異点。

$0<\lvert z-\alpha\rvert<\epsilon$ ならば $\lvert f(z)\lvert\leq M$ となる $\epsilon$ と $M$ が存在することが同値。

除去可能特異点の周りでのローラン級数展開は主要部が $0$ になる。

極

極に対してはローラン級数展開の係数について $a_n\neq0$ となる最小の $n$ が定まる。 $-n$ を極の位数という。 $\alpha$ で $-n$ 位の極をもつという。

$z=a$ が $f(z)$ の孤立特異点であり、 $\lim_{z\to a,z\neq a}f(z)=\infty$ であるとき、 $z=a$ を極という。

また、 $z=a$ が $f(z)$ の極であるとき、ある整数 $n$ について $(z-a)^nf(z)$ は $z=a$ まで正則な関数となる。このような $n$ で最小のものを $z=a$ の極の位数という。

$z=a$ が極の場合には主要部が有限和となる。

極の異なる定義。主要部が $0$ でなく、有限和なとき。 $a_n\neq0$ なる最小の $n$ について $-n$ を位数といい、 $a_{-1}$ を留数という。このとき、 $f(z)=\dfrac{g(z)}{(z-\alpha)^n}$ と正則な $g(z)$ を用いてかけ、正則関数の日である。逆に正則関数の比は分母が $0$ になるところで極をもつ。

$f(z)=\dfrac{1}{z(z-1)}$ は $z=0$ で主要ぶが $-z^{-1}$ で極

真性特異点

いずれでもない場合、真性特異点という。つまり主要部が無限和であるようなもの。 $e^{-1/z}$ とか $\sin\dfrac{1}{z}$ などは $z=0$ を真性特異点に持つ。

$\alpha$ が $f$ の真性特異点のとき、 $z\to\alpha$ をうまく近づけると $f(z)$ をどんな値にも近づけられる。

$f(z)=e^{1/z}$ とする。 $z=1/(a+bi)$ とすると、 $f(z)=e^{2\pi(a+bi)}=e^a(\cos b+i\sin b)$ である。例えば、 $a=0$ と固定する。 $b\to\infty$ とすれば $z=1/bi\to 0$ であり、このとき、 $f(z)=(\cos b+i\sin b)$ は $b\to\infty$ で単位円周上を回り続ける。特に、 $b_n=\theta+2\pi n$ として、 $n\to\infty$ とすると $b_n\to\infty$ であり、 $f(b_ni)=\cos \theta+i\sin\theta$ なので、 $n\to\infty$ で $\cos\theta+i\sin\theta$ に収束する。