留数定理

留数を用いて積分を計算できる。

単純閉曲線CCで囲まれる領域をDDとする。 関数ffはα1,…,αk∈D\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in DをのぞきD‾\overline{D}で正則であるとする。 このとき、

∫Cf(z)dz=2πi∑j=1kResz=αjf(z) \int_Cf(z)dz=2\pi i\sum_{j=1}^k Res_{z=\alpha_j}f(z)

が成り立つ。

積分経路を連続変形することで、CiC_iをαi\alpha_iの周りの十分小さい円周として、これらにおける線積分の和と一致する。

各々のCiC_iにおいては、RRを留数とすると

∫Cif(z)dz=∫Cif(z)−Rz−ai+Rz−aidz\int_{C_i}f(z)dz=\int_{C_i}f(z)-\frac{R}{z-a_i}+\frac{R}{z-a_i}dz

となり、コーシーの積分公式から、

∫Cif(z)dz=∫CiRz−aidz=2πiR\int_{C_i}f(z)dz=\int_{C_i}\frac{R}{z-a_i}dz=2\pi iR

となる。

∫B1(i)1z2+1dz∫B2(0)z2(z+1)3dz∫B2(0)sin⁡zz(z2+1)dz \int_{B_1(i)}\frac{1}{z^2+1}dz\\\\ \int_{B_2(0)}\frac{z^2}{(z+1)^3}dz\\\\ \int_{B_2(0)}\frac{\sin z}{z(z^2+1)}dz

領域DDにおいて、ffは有限個の孤立特異点a1,…,ana_1,\ldots,a_nをのぞいて正則であるとする。 DD内のサイクルCCが00にホモローグで、どのaia_iも通らないとする。 このとき、

12πi∫Cf(z)dz=∑in(C,ai)Resz=aif(z) \frac{1}{2\pi i}\int_Cf(z)dz=\sum_in(C,a_i)Res_{z=a_i}f(z)

が成り立つ。

∫−∞∞1x2+1dx \int^\infty_{-\infty}\frac{1}{x^2+1}dx

を計算せよ。 ちなみに、これは積分定理を用いずとも計算可能で、x=tan⁡θx=\tan\thetaと置き換えることにより積分の値はπ\piと求めることができる。

積分経路CRC_Rを半径RRで原点中心の円の上半分と実軸の−R-RからRRを結ぶ線分を合わせてできる半円の境界に反時計回りの向きをつけたものとする。

このとき、

f(z)=1z2+1=12i(1z−i−1z+i) f(z)=\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{2i}(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i})

はz=iz=iで11位の極をもち、そこでの留数は12i\dfrac{1}{2i}である。 また、それ以外では正則である。

したがって、留数定理より

12πi∫CR1x2+1dx=12i \frac{1}{2\pi i}\int_{C_R}\frac{1}{x^2+1}dx=\frac{1}{2i}

となる。

CRC_Rの円弧の部分CRC_Rの積分は次のようにしてR→∞R\to\inftyでの値を評価できる。 まず、∣z∣=R\lvert z\rvert=Rであれば

∣1z2+1∣≤∣1R2+1∣ \lvert \frac{1}{z^2+1}\rvert\leq\lvert\frac{1}{R^2+1}\rvert

である。 したがって、

∣∫CR1z2+1dz∣=∣∫0π1R2exp⁡(2πit)+1R2πiexp⁡(2πit)dt∣≤2πR∫0π1R2+1dt=2π2RR2+1 \lvert\int_{C_R}\frac{1}{z^2+1}dz\rvert = \lvert\int^\pi_{0}\frac{1}{R^2\exp(2\pi it)+1}R2\pi i\exp(2\pi it)dt\rvert \leq 2\pi R\int^\pi_{0}\frac{1}{R^2+1}dt = 2\pi^2\frac{R}{R^2+1}

となるので、R→∞R\to\inftyでこの積分は00に収束することがわかる。

以上から、R→∞R\to\inftyでの極限を考えることで

∫−∞∞1x2+1dx=π \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{x^2+1}dx=\pi

となる。

注意。 上の広義積分において、これが収束するから広義積分が存在することは保証されない。 広義積分が存在することがわかっている前提で、上の極限を用いて広義積分が計算できる、という議論は正しい。