留数とは

次に留数という概念について見ていこう。 まず思い出して欲しいのは、次の積分計算である。 CCを反時計回りの単位円周とする。

∫Cdzz=2πi \int_C\frac{dz}{z}=2\pi i

コーシーの積分定理から、上のCCがより一般に単位円周を複素平面から原点を抜いた領域内で連続変形した曲線に対しても同じ式が成り立つ。 単位円周であるという条件は具体的に計算を行うための条件である。

この計算を念頭において、次のように留数を定義する。

孤立特異点z=az=aでのf(z)f(z)の留数とは、ある円環0<∣z−a∣<δ0<\lvert z-a\rvert<\deltaで

f(z)−Rz−a f(z)-\frac{R}{z-a}

が11価正則関数の導関数になるような複素数RRのことである。

このようなRRは一意的に定まる。

これをR=Resz=af(z)R=Res_{z=a}f(z)と表す。

f(z)=Cz−af(z)=\dfrac{C}{z-a}について、CCがz=az=aにおける留数である。

z=az=aが極の場合、その留数はローラン展開の−1-1次の係数と一致する。

留数とは。 正則関数ffのz=αz=\alphaを中心とするローラン展開

f(z)=∑n=−∞∞an(z−α)n f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-\alpha)^n

において、径数ana_nは

an=12πi∫∣ζ−α∣=rf(ζ)(ζ−α)n+1dζ a_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{\lvert\zeta-\alpha\rvert=r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-\alpha)^{n+1}}d\zeta

と表すことができた。 このうち、(z−α)−1(z-\alpha)^{-1}の係数a−1a_{-1}をz=αz=\alphaにおける留数といい、

a−1=Resz=αf(z) a_{-1}=Res_{z=\alpha}f(z)

と表す。

つまり、

Resz=αf(z)=12πi∫∣ζ−α∣=rf(z)dz Res_{z=\alpha}f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\lvert\zeta-\alpha\rvert=r}f(z)dz

である。

いくつか簡単な例を見ていこう。

留数の求め方。 α\alphaがnn位の極のとき、

Resz=αf(z)=1(n−1)!lim⁡z→αdn−1dzn−1f(z) Res_{z=\alpha}f(z)=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to\alpha}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}f(z)

である。 特にn=1n=1なら

Resz=αf(z)=lim⁡z→α(z−α)f(z) Res_{z=\alpha}f(z)=\lim_{z\to\alpha}(z-\alpha)f(z)

である。

f(z)=z−2z2(z−1)3f(z)=\dfrac{z-2}{z^2(z-1)^3}の極を全て求め、その留数を求めよ。