原始関数の存在と閉曲線での線積分

ffが原始関数FFを持つとき、線積分は経路によらない。また、閉曲線での線積分は00になる。 これはffが正則である領域の形や曲線の形にはよらずに成り立つ。 また、ffの正則性は仮定する必要はない. （実際には正則な原始関数FFの解析性からのちに証明できる。）

領域D⊂CD \subset \mathbb{C}で定義された関数f:D→Cf:D \to \mathbb{C}がDD上一価正則な原始関数FFを持つ、 すなわちある一価正則関数F:D→CF:D\to \mathbb{C}が存在してDD上でF′(z)=f(z)F'(z)=f(z)となるとき、線積分の値が積分路によらず始点と終点のみで決まる。

α,β∈C\alpha, \beta\in\mathbb{C}を結ぶ任意の曲線C1,C2C_1, C_2に対して

∫C1f(z)dz=∫C2f(z)dz \int_{C_1}f(z)dz=\int_{C_2}f(z)dz

が成り立つ。

あるいは、任意の閉曲線CCについて

∫Cf(z)dz=0 \int_Cf(z)dz=0

が成り立つ。

この二つは同値な主張である。 C1C_1と−C2-C_2を繋いだ曲線をCCとすればよい。

FFがffの原始関数である、つまりF′(z)=f(z)F'(z)=f(z)であるとする。

曲線CCのパラメータづけをγ:[a,b]→C\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}とすると、合成関数の微分から

ddtF(γ(t))=F′(γ(t))γ′(t)=f(γ(t))γ′(t)\frac{d}{dt}F(\gamma(t))=F'(\gamma(t))\gamma'(t)=f(\gamma(t))\gamma'(t)

である。

よって、微積分学の基本定理から

∫Cf(z)dz=∫abf(γ(t))γ′(t)dt=∫abddtF(γ(t))dt=F(γ(b))−F(γ(a))\int_Cf(z)dz=\int^b_af(\gamma(t))\gamma'(t)dt=\int_a^b\frac{d}{dt}F(\gamma(t))dt=F(\gamma(b))-F(\gamma(a))

となる。 つまり、積分の値はCCの始点γ(a)\gamma(a)と終点γ(b)\gamma(b)のみで定まり、途中の経路には依存しない。

ベクトル場に対するポテンシャルの存在と比較する。