冪級数

べき級数の収束半径，べき級数の様々な演算に関して解説する． また，正則関数のべき級数展開について解説する．

冪級数とは。 α∈C\alpha\in\mathbb{C}に対し、α\alphaを中心とする冪級数とは、複素数列an∈Ca_n\in\mathbb{C}を用いて定まる

∑n=0∞an(z−α)n \sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n

のことをいう。

収束について。 正確には、lim⁡N→∞∑n=0Nan(z−α)n\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^Na_n(z-\alpha)^nである。 これが収束するとき、冪級数がzzで収束するという。

全ての自然数nnに対してan=1a_n=1とすることで定まる

∑n=0∞zn=1+z+z2+⋯\sum_{n=0}^\infty z^n=1+z+z^2+\cdots

は00を中心とした冪級数。

これは∣z∣<1\lvert z\rvert<1の範囲で収束し、その極限値は11−z\dfrac{1}{1-z}である。

冪級数の和や積について。

∑nanzn,∑nbnzn\sum_na_nz^n, \sum_nb_nz^nが収束するならば、∑n(an+bn)zn,∑ncanzn\sum_n(a_n+b_n)z^n, \sum_nca_nz^nが収束する。 積は∑n(∑kan−kbk)zn\sum_n(\sum_ka_{n-k}b_k)z^nが収束する？

冪級数

∑n=0∞anzn\sum_{n=0}^\infty a_nz^n

が絶対収束するとは、

∑n=0∞∣an∣∣z∣n\sum_{n=0}^\infty\lvert a_n\rvert\lvert z\rvert^n

が収束することをいう。

冪級数が絶対収束するなら収束する。

冪級数

∑n=0∞anzn \sum_{n=0}^\infty a_nz^n

が絶対収束すると仮定する。 つまり、

∑n=0∞∣an∣∣z∣n \sum_{n=0}^\infty \lvert a_n\rvert \lvert z\rvert^n

が収束すると仮定する。

このとき、三角不等式より

∣∑k=nmakzk∣≤∑k=nnm∣ak∣∣z∣k \lvert \sum_{k=n}^ma_kz^k \rvert \leq \sum_{k=n}^nm\lvert a_k\rvert \lvert z\rvert^k

である。 絶対収束することから、この右辺はいくらでも小さくすることができる。 より正確には、任意のϵ>0\epsilon >0に対し、ある自然数NNが存在し、n,m≥Nn, m\geq Nならば

∑k=nnm∣ak∣∣z∣k<ϵ \sum_{k=n}^nm\lvert a_k\rvert \lvert z\rvert^k <\epsilon

となる。

このことから、部分和sn=∑k=0nakzks_n=\sum_{k=0}^na_kz^kがコーシー列であることがわかる。 C\mathbb{C}は完備なので、sns_nは収束する。

目次

  1. 冪級数の収束半径
  2. 広義一様収束
  3. 冪級数の項別微分と項別積分
  4. 冪級数で定まる関数の一致の定理
  5. 一致の定理
  6. 正則関数の冪級数展開
  7. 初等関数のべき級数展開
  8. 一致の定理と解析接続
  9. 解析接続
  10. ガンマ関数