多価関数を含む定積分

複素数ssに対し、zsz^sを単位円周で積分することを考えよう。 全体で一価正則には定義できないので、z=1z=1を除いた広義積分と解釈してもよいし、半円に分けてそれぞれの積分の和と考えてもよい。 zzの偏角を0≤arg⁡z≤2π0\leq \arg z\leq 2\piととることにする。 単位円周のパラメータづけをγ(t)=exp⁡(2πit)\gamma(t)=\exp(2\pi it)とすると、

zs=γ(t)s=exp⁡(slog⁡γ(t))=exp⁡(s2πti) z^s=\gamma(t)^s=\exp(s\log\gamma(t))=\exp(s2\pi t i)

となる。 よって、s≠1s\neq 1のとき、

∫Czsdz=∫01exp⁡(2πtis)2πiexp⁡(2πit)dt=2πi[12πi(s+1)exp⁡(2πi(s+1)t)]01=2πi(exp⁡(2πi(s+1))−1) \int_Cz^sdz = \int_0^1\exp(2\pi tis)2\pi i\exp(2\pi it)dt \\\\ = 2\pi i\left[\frac{1}{2\pi i(s+1)}\exp(2\pi i(s+1)t)\right]^1_0 = 2\pi i(\exp(2\pi i(s+1))-1)

となる。ssが整数ならこれは00だが、そうでない場合には00とならない。

円周の半径をrrとして同様の計算を行う。 円周CrC_rのパラメータづけをγ(t)=rexp⁡(2πit)\gamma(t)=r\exp(2\pi it)とすると、

zs=γ(t)s=exp⁡(slog⁡γ(t))=exp⁡(s(r+2πti))=exp⁡(rs)exp⁡(2πist) z^s=\gamma(t)^s=\exp(s\log\gamma(t))=\exp(s(r+2\pi t i))=\exp(rs)\exp(2\pi ist)

となる。 よって、s≠1s\neq 1のとき、

∫Czsdz=∫01exp⁡(2πtis)2πiexp⁡(2πit)dt=2πi[12πi(s+1)exp⁡(2πi(s+1)t)]01=2πi(exp⁡(2πi(s+1))−1) \int_Cz^sdz = \int_0^1\exp(2\pi tis)2\pi i\exp(2\pi it)dt \\\\ = 2\pi i\left[\frac{1}{2\pi i(s+1)}\exp(2\pi i(s+1)t)\right]^1_0 = 2\pi i(\exp(2\pi i(s+1))-1)

となる。こちらもやはりssが整数ならこれは00だが、そうでない場合には00とならない。 また、rrに依存することにも注意しよう。 zsz^sが一価正則な原始関数を持つならば線積分の値はrrには依存しない。

留数定理による積分計算の例題を見てみよう。 ここでは特に関数の多価性を利用する例を紹介する。

ssを複素数で、その実部が0<Re(s)<10<Re(s)<1なるものとする。

∫0∞xs−1x+1=πsin⁡πs \int^\infty_0\frac{x^{s-1}}{x+1}=\frac{\pi}{\sin\pi s}

を示そう。

f(z)=zs−1z+1 f(z)=\frac{z^{s-1}}{z+1}

とすると、zs−1z^{s-1}に多価性があるので、実軸の正の部分を除いた領域を定義域とし、 zzの偏角を0<arg⁡z<2π0<\arg z<2\piとすることで定まる分枝をとって一価正則な関数を定める。

zs−1=exp⁡((s−1)log⁡z) z^{s-1}=\exp((s-1)\log z)

と定義していたことを思い出そう。 このとき、z=−1z=-1のみが孤立特異点でそこでの留数は(−1)s−1=exp⁡((s−1)πi)=−exp⁡(sπi)(-1)^{s-1}=\exp((s-1)\pi i)=-\exp(s\pi i)である。

さて、積分経路CCを次の四つの曲線を繋いでできるものとする。 C1C_1を実軸の0<ϵ0<\epsilonからRRまで。 パラメータづけをz=x,x∈[ϵ,R]z=x, x\in[\epsilon,R]で与える。 zs−1z^{s-1}はhaarg⁡z=0\arg z=0で考える。 ここでの積分は

∫C1f(z)dz=∫ϵRxs−1x+1dx \int_{C_1}f(z)dz= \int_\epsilon^R\frac{x^{s-1}}{x+1}dx

となり、R→∞,ϵ→0R\to\infty, \epsilon\to0の極限を取ることで

∫0∞xs−1x+1dx \int^\infty_0\frac{x^{s-1}}{x+1}dx

に収束する。

C2C_2を半径RRの円を偏角00から2π2\piでの円周とする。

パラメータづけをγ(t)=Rexp⁡(2πit)\gamma(t)=R\exp(2\pi it)とすると、 γ′(t)=R2πiexp⁡(2πit)\gamma'(t)=R2\pi i\exp(2\pi it)であり、∣γ′(t)∣=2πR\lvert\gamma'(t)\rvert=2\pi Rである。

また、

γ(t)s−1=exp⁡((s−1)log⁡(Rexp⁡(2πit)))=exp⁡((s−1)(log⁡R+2πit)) \gamma(t)^{s-1}=\exp((s-1)\log(R\exp(2\pi it)))=\exp((s-1)(\log R+ 2\pi it))

であり、

∣γ(t)s−1∣=exp⁡(Re((s−1)(log⁡R+2πit)))=exp⁡((Re(s)−1)log⁡R−Im(s)2πt) \lvert\gamma(t)^{s-1}\rvert=\exp(Re((s-1)(\log R+ 2\pi it)))=\exp((Re(s)-1)\log R - Im(s)2\pi t)

である。

積分の絶対値は

∫C2f(z)dz=∫01Rs−1exp⁡(2πi(s−1)t)Rexp⁡(2πit)+12πiRexp⁡(2πit)dt \int_{C_2}f(z)dz = \int_0^1\frac{R^{s-1}\exp(2\pi i(s-1)t)}{R\exp(2\pi it)+1}2\pi iR\exp(2\pi it)dt

となる。 これの絶対値は

∣∫C2f(z)dz∣≤2πR∫01∣γ(t)s−1γ(t)+1∣dt \left\lvert \int_{C_2} f(z)dz\right\rvert \leq 2\pi R\int_0^1\left\lvert\frac{\gamma(t)^{s-1}}{\gamma(t)+1}\right\rvert dt

となり、これはssの実部が11より小さいからR→∞R\to\inftyで00に収束する。

C3C_3を実軸のRRからϵ\epsilonまでの線分とする。 ここではarg⁡z=2π\arg z=2\piとなることに注意すると、積分は

∫C3f(z)dz=exp⁡(2πi(s−1))∫Rϵxs−1exp⁡(2πi)x+1exp⁡(2πi)dx \int_{C_3}f(z)dz = \exp(2\pi i(s-1))\int_R^\epsilon\frac{x^{s-1}}{\exp(2\pi i)x+1}\exp(2\pi i)dx

となり、R→∞,ϵ→0R\to\infty, \epsilon\to0の極限を取ることで

−exp⁡(2πi(s−1))∫0∞xs−1x+1dx -\exp(2\pi i(s-1))\int^\infty_0\frac{x^{s-1}}{x+1}dx

に収束する。

C4C_4を半径ϵ\epsilonの円を偏角2π2\piから00までの円周とすると、 C2C_2と同様にssの実部が00より大きいから、これはϵ→0\epsilon\to0で00に収束する。

全て合わせてR→∞,ϵ→0R\to\infty, \epsilon\to0の極限を考えると

(1−exp⁡(2πi(s−1)))∫0∞xs−1x+1dx=−2πiexp⁡(πis)∫0∞xs−1x+1dx=2πi−exp⁡(πis)1−exp⁡(2πis)=−2πiexp⁡(−πis)−exp⁡(πis)=πsin⁡πα (1-\exp(2\pi i(s-1)))\int^\infty_0\frac{x^{s-1}}{x+1}dx =-2\pi i\exp(\pi is)\\\\ \int^\infty_0\frac{x^{s-1}}{x+1}dx =2\pi i\frac{-\exp(\pi is)}{1-\exp(2\pi is)}\\\\ = \frac{-2\pi i}{\exp(-\pi is)-\exp(\pi is)}\\\\ = \frac{\pi}{\sin \pi\alpha}

となる。

上の積分はf(x)=1x+1f(x)=\dfrac{1}{x+1}のメリン変換

∫0∞f(x)xs−1dx\int^\infty_0f(x)x^{s-1}dx

を計算したことになる。

この積分

∫0∞xs−1x+1dx=πsin⁡πs\int^\infty_0\frac{x^{s-1}}{x+1}dx=\frac{\pi}{\sin \pi s}

において1x+1=t\dfrac{1}{x+1}=tとすると、x=1−tt,dx=−dtt2x=\dfrac{1-t}{t}, dx=-\dfrac{dt}{t^2}となるので

∫0∞xs−1x+1dx=∫01t−s(1−t)s−1dt =B(1−s,s)=Γ(s)Γ(1−s)\int^\infty_0\frac{x^{s-1}}{x+1}dx =\int^1_0t^{-s}(1-t)^{s-1}dt\\\ =B(1-s,s)\\\\ =\Gamma(s)\Gamma(1-s)

となる。

結果として、例で与えた計算により、Γ\Gamma関数の相補公式

Γ(s)Γ(1−s)=πsin⁡(πs)\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin(\pi s)}

が0<Re(s)<10<Re(s)<1で証明された。 この両辺はC\mathbb{C}全体で有理形関数として定義されるので、一致の定理からC\mathbb{C}全体で上の等式が示される。

a,b∈R,a<ba,b\in\mathbb{R}, a<bとして

∫abdx(x−a)(b−x) \int_a^b\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}

を計算する。 これは三角関数による置換積分で初等的にも計算可能である。

まず

f(z)=((z−a)(b−z))−1/2 f(z)=((z-a)(b-z))^{-1/2}

とする。 ただしこれは多価関数なので、分枝をxx軸のbbより大きな部分でz−b,z−a\sqrt{z-b}, \sqrt{z-a}がともに正になるように選ぶ。 するとこれはC\mathbb{C}から線分[a,b][a,b]を除いた領域で一価正則関数を定める。 ここで、a,ba,bをともに囲むような円周に沿って一周回ったときに何が起こるか気になるが、 二つの平方根が両方符号が変わることによってトータルでは符号が変わらないという現象が起きていることに注意しよう。

さて、このようなa,ba,bをともに囲む円周CCに沿った線積分

∫Cf(z)dz \int_Cf(z)dz

を考える。 この線積分を留数定理を用いて計算したいが、このままではうまくいかない。 というのも、この円周の内部においてffは「有限個の孤立特異点を除いて正則」という条件を満たさないためである。

ではどうするかというと、w=1zw=\dfrac{1}{z}と置換する。 すると、

f(z)=((z−a)(b−z))−1/2=(z2(1−az)(bz−1))−1/2=1z((1−az)(bz−1))−1/2 f(z)=((z-a)(b-z))^{-1/2}\\\\ =(z^2(1-\frac{a}{z})(\frac{b}{z}-1))^{-1/2}\\\\ =\frac{1}{z}((1-\frac{a}{z})(\frac{b}{z}-1))^{-1/2}

となる。

したがってdzz=dww\dfrac{dz}{z}=\dfrac{dw}{w}であり、また回る向きが逆になることに注意して

∫Cf(z)dz=−∫C1w((1−aw)(bw−1))−1/2dw \int_C f(z)dz=-\int_C\frac{1}{w}((1-aw)(bw-1))^{-1/2}dw

となる。

この形にするとwwについての関数は1w∉[a,b]\dfrac{1}{w}\notin[a,b]においてw=0w=0で孤立点を持つ以外は一価正則関数となる。 したがって留数定理を用いることができて、w=0w=0での留数は上の関数をローラン級数展開することにより11とわかる。 よって、wwについての積分と

∫Cf(z)dz=−∫C1w((1−aw)(bw−1))−1/2dw=−2πi \int_C f(z)dz=-\int_C\frac{1}{w}((1-aw)(bw-1))^{-1/2}dw\\\\ =-2\pi i

である。

一方で元のzzについての積分を積分経路を次のように取り替える。 C1C_1をOOの周りを反時計回りに偏角00から2π2\piまで回る半径rrの円周、 C3C_3をOOの周りを反時計回りに偏角−π-\piからπ\piまで回る半径rrの円周、 C2C_2をC1C_1の終点からC3C_3の始点を結ぶ線分、 C4C_4をC3C_3の終点からC1C_1の始点を結ぶ線分とすると、CCについての線積分とC1,C2,C3,C4C_1, C_2, C_3, C_4についての線積分の和が一致することはコーシーの積分定理よりわかる。 この44つの曲線に沿った線積分を計算しよう。

C1C_1に沿った線積分をパラメータγ(t)=rexp⁡(2πit)+a\gamma(t)=r\exp(2\pi it)+aとして計算する。

∫C1f(z)dz=∫01(rexp⁡(2πit)(b−a−rexp⁡(2πit)))−1/2r2πiexp⁡(2πit)dt=2πir∫01(rexp⁡(2πit)(b−a)−r2exp⁡(4πit))−1/2exp⁡(2πit)dt \int_{C_1}f(z)dz = \int_0^1(r\exp(2\pi it)(b-a-r\exp(2\pi it)))^{-1/2}r2\pi i\exp(2\pi it)dt\\\\ = 2\pi ir\int_0^1(r\exp(2\pi it)(b-a)-r^2\exp(4\pi it))^{-1/2}\exp(2\pi it)dt

となる。 r→0r\to0の極限を計算することに注意して、rrを十分小さいとすれば

∣∫C1∣f(z)dz≤2πr∫01(r(b−a))−1/2dt \lvert \int_{C_1} \rvert f(z)dz \leq 2\pi r\int_0^1(r(b-a))^{-1/2}dt

となるからr→0r\to0で上の積分は00に収束する。 C3C_3に沿った線積分についても同様。

C2C_2に沿った線積分は実軸上の積分だが、分枝の取り方に注意する。 z−a=exp⁡(2πi)(x−a),b−z=exp⁡(−πi)(b−x)z-a=\exp(2\pi i)(x-a), b-z=\exp(-\pi i)(b-x)となるので、r→0r\to0とすると

∫C2f(z)dz=∫abexp⁡(−πi2)dx(x−a)(b−x)=−i∫abdx(x−a)(b−x) \int_{C_2}f(z)dz = \int_a^b\exp(-\frac{\pi i}{2})\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\\\\ = -i\int_a^b\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}

となる。

C4C_4に沿った積分も同様で、z−a=exp⁡(2πi)(x−a),b−z=exp⁡(πi)(b−x)z-a=\exp(2\pi i)(x-a), b-z=\exp(\pi i)(b-x)となるので、r→0r\to0とすると

∫C2f(z)dz=∫baexp⁡(−3πi2)dx(x−a)(b−x)=−i∫abdx(x−a)(b−x) \int_{C_2}f(z)dz = \int_b^a\exp(-\frac{3\pi i}{2})\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\\\\ = -i\int_a^b\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}

となる。

以上をまとめると

−2i∫abdx(x−a)(b−x)=−2πi∫abdx(x−a)(b−x)=π -2i\int_a^b\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}=-2\pi i\\\\ \int_a^b\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}=\pi

と計算できる。

∫ab(x−a)(b−x)dx \int_a^b\sqrt{(x-a)(b-x)}dx

を計算せよ。

∫ab(x−a)(b−x)dx=π8(a−b)2 \int_a^b\sqrt{(x-a)(b-x)}dx =\frac{\pi}{8}(a-b)^2

となる。 これは半円の面積。