平均値の性質

コーシーの積分公式から、正則関数のある点での値はその周りの円周上での値の「平均」であると解釈できる。

$f$ が円 $C=C(\alpha,r)$ とその内部で正則であるとき、

f(\alpha)=\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0f(\alpha+re^{i\theta})d\theta

である。

コーシーの積分公式より、

f(\alpha)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-\alpha}dz

である。

この右辺の積分を、 $\gamma(\theta)=\alpha+re^{i\theta}$ とパラメータづけて計算すると、

\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-\alpha}dz =\frac{1}{2\pi i}\int^{2\pi}_0\frac{f(\alpha+re^{i\theta})}{re^{i\theta}}ire^{i\theta}d\theta\\\\ =\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0f(\alpha+re^{i\theta})d\theta\\\\

となる。