最大値の原理

次の定理は、正則関数の定義域を開集合に取ったとき、その絶対値は最大値を持たないというものである。正則関数の定義域を閉集合に制限したとき、絶対値の最大値は境界上でとる、という形で述べることもある。

リュービルの定理と似ているが、最大値の存在と有界であることには差があることに注意する。また、こちらは一般の定義域に対して述べていることも違いである。

$f:D\to\mathbb{C}$ が正則で定数でないなら、 $f$ の絶対値は最大値を持たない。

対偶を取れば、 $f:D\to\mathbb{C}$ が正則で、 $\lvert f(z)\rvert$ が最大値を持つならば $f$ は定数である、という主張になる。

$\alpha\in D$ で $f$ の絶対値 $\lvert f(z)\rvert$ が最大値を持つとする。このとき、任意の $z \in D$ について $\lvert f(z)\rvert\leq\lvert f(\alpha)\rvert$ である。

$C$ を $\alpha$ 中心半径 $f$ の円で、その内部も含めて $D$ に含まれるものとする。これに対し、コーシーの積分公式から、

\lvert f(\alpha)\rvert=\lvert\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-\alpha}dz\rvert\\\\ \leq\frac{1}{2\pi}\frac{\lvert f(\alpha)\rvert}{r}2\pi r=\lvert f(\alpha)\rvert

となる。よって、途中の不統合においては等号が成り立ち、曲線 $C$ 上で $\lvert f(z)\rvert=\lvert f(\alpha)$ となる。 $C$ の半径 $r$ を動かすことで、 $\alpha$ を中心とするある円板内部 $B$ において $\lvert f(z)\rvert$ は一定である。

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ と実部虚部に分ける。 $\lvert f(z)\rvert=u(x,y)^2+v(x,y)^2$ であり、上でとった $B$ の内部においてはこれが定数になる。したがって、 $u(x,y)^2+v(x,y)^2=c$ を $x, y$ でそれぞれ偏微分すると、 $2u_x(x,y)u(x,y)+2v_x(x,y)v(x,y)=0, 2u_y(x,y)u(x,y)+2v_y(x,y)v(x,y)=0$ となる。コーシーリーマン方程式を用いると、第二式は $-2v_x(x,y)u(x,y)+2u_x(x,y)v(x,y)=0$ となるから、 $B$ 内部において、 $u_x(x,y)=v_x(x,y)=u_y(x,y)=v_y(x,y)=0$ となる。よって $B$ 内部において $f(z)$ は定数である。したがって、一致の定理より $D$ 内部で $f(z)$ は定数である。