リュービルの定理

コーシーの積分公式の応用として，リューヴィルの定理，代数学の基本定理，最大値の原理などについて解説する．

まずはコーシーの積分公式を用いて次のリュービルの定理を証明し、 その応用として任意の多項式は必ず複素数の範囲で解を持つという事実を証明しよう。

リューヴィルの定理とはC\mathbb{C}上正則で有界な関数は定数のみであることを主張する定義である。 対偶をとると、C\mathbb{C}上正則で定数でない関数ffはz→∞z\to\inftyで∣f(z)∣→∞\lvert f(z)\rvert\to\inftyとなる。

複素平面C\mathbb{C}全体で正則な関数ffに対し、 ある定数MMが存在して任意のz∈Cz\in\mathbb{C}に対して∣f(z)∣<M\lvert f(z) \rvert<Mであるとする。 このとき、ffは定数関数である。

C\mathbb{C}全体で正則な関数f(z)f(z)に対し、∣f(z)∣\lvert f(z)\rvertの上界を一つとりMMとする。 つまり、任意のz∈Cz\in\mathbb{C}に対し∣f(z)∣<M\lvert f(z) \rvert<Mであるような正の実数MMをを一つとる。

以下ではまず任意のa∈Ca\in\mathbb{C}に対しf(ˊa)=0f\'(a)=0であることを証明する。 a∈Ca\in\mathbb{C}を一つとり、正の実数rrを一つとる。 CCを半径rrで中心z=az=aの円周とすると、導関数に対するコーシーの積分公式から、

(ˊz)=12πi∫Cf(ζ)(ζ−a)2dζ \'(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^2}d\zeta

となる。 よって、積分の三角不等式により、

∣f(ˊa)∣≤12π∫C∣f(ζ)∣∣ζ−a∣2∣dζ∣≤12π∫CMr2∣dζ∣≤Mr \lvert f\'(a) \rvert\leq\frac{1}{2\pi}\int_C\frac{\lvert f(\zeta) \rvert}{\lvert\zeta-a\rvert^2}\lvert d\zeta \rvert\\\\ \leq\frac{1}{2\pi}\int_C\frac{M}{r^2}\lvert d\zeta\rvert \leq \frac{M}{r}

となる。 ffがC\mathbb{C}全体で正則であるため、これが任意のrrで成り立つ。 よって、∣f′(a)∣=0\lvert f'(a)\rvert=0であり、f(ˊa)=0f\'(a)=0である。

よって任意のz∈Cz\in\mathbb{C}でf′(z)=0f'(z)=0となることがわかり、f(z)f(z)は定数関数であることが示された。

リュービルの定理を用いると、任意の11次以上の多項式は複素数の範囲で根を持つという代数学の基本定理を証明することができる。

11次以上の複素数係数多項式は複素数の範囲に解を持つ。

P(z)P(z)を11次以上の多項式とし、解を持たないと仮定する。 z→∞z\to\inftyで∣P(z)∣→∞\lvert P(z) \rvert\to\inftyであることから、 1P(z)\dfrac{1}{P(z)}はC\mathbb{C}上で有界になる。 リュービルの定理よりP(z)P(z)は定数となり、これは矛盾。

目次

  1. 最大値の原理
  2. 平均値の性質