冪級数で定まる関数の一致の定理

$z=0$を中心とする収束冪級数により定まる関数$f(z)=\sum_na_nz^n$を考える。 これについて、$f(0)=0$である。 一方で、もしある$n$について$a_n\neq0$であれば、ある正の実数$r$が存在して、0<\lvert z\rvert &lt; rにおいて$f(z)\neq 0$である。 対偶を取れば、$f(z)$が$z=0$のある近傍で恒等的に$0$であれば任意の$n$について$a_n=0$である。

このことから、$f(z)$が恒等的に$0$でなければその零点は孤立することがわかる。 対偶を取れば、$f$の零点の集合が集積点を持つならば$f$は恒等的に$0$になる。 これを利用して一致の定理を証明することができる。