正則関数

正則関数を定義し，正則性の判定に使われるコーシー・リーマンの方程式を解説する． その後で正則関数の例として，多項式関数・有理関数，指数関数，三角関数について解説する．

まず複素関数の微分を定義する。 $a$の周りで定義された関数$f$に対し、

が存在するとき、$f$は$a$で複素微分可能といい、その極限値を$f'(a)$と表す。

二変数関数の偏微分や全微分との比較。 単に一次関数で近似できるのみではなく、複素一次関数で近似できるということ。 これが全然違う。 等角性、調和関数

$\mathbb{C}$を$\mathbb{R}^2$とみなすことで、複素関数$f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$は実二変数のベクトル値関数$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$とみなすことができる。 さらに、距離の対応もつくため、関数の連続性はどちらで見ても同値である。 しかし、大きな違いが関数の微分についてである。 あるいはどのように一次近似をするかが異なる。

正則関数。 $\mathbb{C}$内の領域$U\subset\mathbb{C}$の各点で複素微分可能。

単に$1$点で複素微分可能であることと違うのか。 実関数の場合は？