正則関数の定義

まずは正則関数の定義を確認しよう。

開集合D⊂CD\subset \mathbb{C}を定義域にもつ関数f:D→Cf:D\to\mathbb{C}が正則であるとは、 任意のz∈Dz\in Dについて以下の極限が存在すること。

f′(z)=lim⁡h→0f(z+h)−f(z)h f'(z)=\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}

ここで右辺の極限は複素数の範囲で任意のh→0h\to 0の近付け方について同じ値に収束することを条件としている。

これは開集合U⊂RU\subset\mathbb{R}を定義域にもつ関数のf:R→Rf:\mathbb{R}\to \mathbb{R}の微分係数の定義

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

と式の形は同じである。 ただし、h→0h\to0の近付け方がR\mathbb{R}の開集合の場合は本質的に二つしかないのに対し、C\mathbb{C}の開集合の場合は様々ある点が異なる。