調和関数

さらにu,vu, vがさらに偏微分可能であることを仮定すると、（実際にはあとで見るようにffが複素で微分可能なら常に成立する条件である。）この式から

∂2u∂x2=∂2v∂x∂y,−∂2u∂y2=∂2v∂x∂y \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 v}{\partial x\partial y}, -\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{\partial^2 v}{\partial x\partial y}

となるので、

∂2u∂x2+∂2u∂y2=0 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0

となる。 ここで00は関数として恒等的に00であるということ。

vvについても同様で、u,vu, vは調和関数であることがわかる。 さらにこのu,vu, vは無関係な二つの関数というわけではなく、コーシーリーマン方程式を満たす調和関数の組である。 このようなものを共役調和関数という。

u(x,y)=x2+y2u(x,y)=x^2+y^2は正則関数の実部や虚部となることはない。 なぜならΔu≠0\Delta u\neq0であるため。

逆にu(x,y),v(x,y)u(x,y), v(x,y)が偏微分可能かつ偏導関数が連続で、コーシーリーマン方程式を満たすとき、 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)は正則関数でf′(z)f'(z)は連続となる。

また、調和関数u(x,y)u(x,y)が与えられたとき、それを実部（または虚部）にもつ正則関数を構成することができる。

u(x,y)=x2−y2u(x,y)=x^2-y^2とする。 これは調和関数であり、共役調和関数v(x,y)v(x,y)は

∂v∂x=2y∂v∂y=2x \frac{\partial v}{\partial x}=2y \frac{\partial v}{\partial y}=2x

の解である。

一つ目の式からv(x,y)=2yx+g(y)v(x,y)=2yx+g(y)となり、さらに二つ目の式からg(y)=cg(y)=cとなる。 よって、v(x,y)=2xy+cv(x,y)=2xy+cとすればよく、

f(x+yi)=(x2−y2)+i(2xy+c) f(x+yi)=(x^2-y^2)+i(2xy+c)

は正則関数である。

つまり、正則関数が存在するかどうかは調和関数が存在するかどうかで判断でき、

Δu=0 \Delta u=0

の解を求めることになる。