ガンマ関数

実部がRe(s)>0Re(s)>0なる複素数ssに対し

∫0∞e−tts−1dt \int^\infty_0e^{-t}t^{s-1}dt

をガンマ関数と呼ぶ。 この積分は収束し、正則関数を定める。

部分積分により、上と同じ範囲の複素数ssに対して

Γ(s+1)=sΓ(s) \Gamma(s+1)=s\Gamma(s)

が成り立つ。

そこで、実部が−1-1より大きな複素数ssに対し

G(s)=Γ(s+1)s G(s)=\frac{\Gamma(s+1)}{s}

と定義しよう。 s+1s+1の実部は00より大きいので、これの右辺は有理形関数でs=0s=0で一位の極を持ちそれ以外では正則である。 さらに、その留数はΓ(1)=1\Gamma(1)=1である。

このG(s)G(s)について、Re⁡(s)>0\Re(s)>0においては

G(s)=Γ(s+1)s=Γ(s) G(s)=\frac{\Gamma(s+1)}{s}=\Gamma(s)

が成り立つ。 つまり、G(s)G(s)はΓ(s)\Gamma(s)をRe⁡(s)>−1\Re(s)>-1に解析接続した関数となっている。

これを繰り返すことで、Γ(s)\Gamma(s)は全複素平面に有理形関数に解析接続でき、 s=0,−1,−2,…s=0,-1,-2,\ldotsに11位の極を持つ以外では正則である。 また、極s=−ns=-nにおける留数は(−1)nn!\dfrac{(-1)^n}{n!}であることがわかる。

このガンマ関数は、前に留数定理を用いて示したように

Γ(s)Γ(1−s)=πsin⁡πs \Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin\pi s}

をみたす。