フーリエ変換の計算例

ξ>0\xi>0とし、

∫−∞∞eiξxx2+1dx \int^\infty_{-\infty}\frac{e^{i\xi x}}{x^2+1}dx

を計算する。

積分経路として、C=C1+C2C=C_1+C_2とし、C1C_1は実軸上−R-RからRRまで、C2C_2を原点中心半径RRの上半円周とする。 f(z)=eiξzz2+1f(z)=\dfrac{e^{i\xi z}}{z^2+1}はCCの内部にz=iz=iに11の極をもち、留数は

lim⁡z→ieiξxz2+1(z−i)=e−ξ2i \lim_{z\to i}\frac{e^{i\xi x}}{z^2+1}(z-i)=\frac{e^{-\xi}}{2i}

である。 よって、

∫Ceiξzz2+1dz=πe−ξ \int_C\frac{e^{i\xi z}}{z^2+1}dz=\pi e^{-\xi}

となる。

∫C1eiξzz2+1dz=∫−RReiξzz2+1dz \int_{C_1}\frac{e^{i\xi z}}{z^2+1}dz=\int^R_{-R}\frac{e^{i\xi z}}{z^2+1}dz

であり、（収束を示した上では）R→∞R\to\inftyとすることで、

∫−∞∞eiξxx2+1dx \int^\infty_{-\infty}\frac{e^{i\xi x}}{x^2+1}dx

に収束する。

∣∫C2eiξzz2+1dz∣≤∫0π∣eiξReiθR2e2iθ+1iReiθ∣dθ≤∫0πe−ξRsin⁡θR2−1Rdθ \left\lvert\int_{C_2}\frac{e^{i\xi z}}{z^2+1}dz\right\rvert \leq\int_0^\pi\left\lvert\dfrac{e^{i\xi Re^{i\theta}}}{R^2e^{2i\theta}+1}iRe^{i\theta}\right\rvert d\theta \leq\int_0^\pi\dfrac{e^{-\xi R\sin\theta}}{R^2-1}Rd\theta

で、RRが十分大きいときξ>0\xi>0であることから、

≤∫0πRR2−1dθ=πRR2−1 \leq\int_0^\pi\dfrac{R}{R^2-1}d\theta=\dfrac{\pi R}{R^2-1}

で、R→∞R\to\inftyで00に収束する。