指数関数

複素数に対する指数関数を定義しよう。 ez,exp⁡(z)e^z, \exp(z)をどう定義するか。 いくつかのやり方がある。 冪級数、オイラーの公式、微分方程式など。 等角な拡張として特徴づけられる。

実数における指数関数を拡張すること、指数関数を満たすこと。

冪級数

実数の範囲で、指数関数exe^xのテイラー展開が

∑n=0∞1n!xn\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}x^n

であることを利用する。 この冪級数は全ての複素数で収束するため、関数f:C→Cf:\mathbb{C}\to\mathbb{C}を定義する。

二項定理を用いることで、複素数に対しても指数法則が成り立つことが証明できる。

また（実関数としての）三角関数のテイラー展開と比較することでオイラーの公式

exp⁡(x+yi)=ex(cos⁡y+isin⁡y)\exp (x+yi)=e^x(\cos y+i\sin y)

が証明できる。

これを通して周期2πi2\pi iを持つこともわかる。

オイラーの公式

天下りにz=x+iyz=x+iyに対して

exp⁡(z)=ex+iy=ex(cos⁡y+isin⁡y)\exp(z)=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)

と定義してみる。 ここでは実数の範囲での指数関数と三角関数しか用いていないことに注意する。

すると、これについてu,vu, vは全微分可能であり、コーシーリーマン方程式を満たすことも直接計算できる。 さらに導関数はf(ˊz)=f(z)f\'(z)=f(z)となることもわかる。 上で与えた天下りな式は、指数法則の等角性から導出することもできる。 この関数について、周期2πi2\pi iをもつ。 特に単射ではないため、全域で逆関数を持たない。

等角性

exp⁡z\exp zは正則関数である。 そもそも複素関数としてのexp⁡z\exp zはどう定義されるか。

指数法則と等角性を用いて拡張する。 まず、指数法則からexp⁡(x+yi)=exp⁡(x)exp⁡(yi)\exp(x+yi)=\exp(x)\exp(yi)となり、実数に対するexp⁡(x)=ex\exp(x)=e^xはすでに定義されているため、 exp⁡(yi)\exp(yi)を定義すればよい。

ここで、exp⁡(x)\exp(x)はxxを動かすと実数倍されるため、その軌跡は原点から放射状に伸びる半直線になる。 これらの半直線と常に直交する曲線は何か？ それは原点を中心とした円である。

指数関数の様子を把握するために、xx一定の曲線やyy一定の曲線がどのようにうつるかをみておこう。