初等関数のべき級数展開

最初にロピタルの公式を述べた後，べき級数の例として初等関数のべき級数展開を紹介し，最後に解析接続の原理である一致の定理について解説する．

ロピタルの公式 $f(z), g(z)$ が $z=\alpha$ で解析的で、 $n=0,\ldots,m-1$ で $f^{(n)}(\alpha)=g^{(n)}(\alpha)=0$ とする。このとき、 $g^{(m)}(\alpha)\neq0$ であれば

\lim_{z\to\alpha}\frac{f(z)}{g(z)}=\lim_{z\to\alpha}\frac{f^{(m)}(\alpha)}{g^{(m)}(\alpha)}

が成り立つ。

\lim_{z\to e^{2\pi i/n}}\frac{z-e^{2\pi i/n}}{z^n-1}

\lim_{z\to 0}\frac{e^z-\cos z-z}{z^2}

\lim_{z\to i}\frac{\cosh(\pi z/2)}{\Log(-iz)}

指数関数 $f(z)=e^z$ の冪級数展開。

e^z= \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}z^n

である。収束半径は $\infty$ である。

対数関数の主値、 $f(z)=Log(1+z)$ の冪級数展開。

Log(1+z)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}z^n

収束半径は $1$

冪函数 $f(z)=(1+z)^\alpha$ の冪級数展開。

(1+z)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty\binom{\alpha}{n}z^n

ここで、 $\binom{\alpha}{n}$ は一般化二項係数で、

\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}

で定まるもの。

冪級数の和、積、合成

$f(z)=e^{2z}$ を $z=0$ の周りで冪級数展開して、収束半径を求める。 $f(z)=\dfrac{1}{z^2+1}$ を $z=0$ の周りで冪級数展開して、収束半径を求める。 $f(z)=\dfrac{1}{z+1}$ を $z=1$ の周りで冪級数展開して、収束半径を求める。 $f(z)=\cos z=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ を $z=0$ の周りで冪級数展開して、収束半径を求める。 $f(z)=\dfrac{1}{z^2-3z+2}$ を $z=0$ の周りで冪級数展開して、収束半径を求める。 $f(z)=z^2\cos z^2$ を $z=0$ の周りで冪級数展開して、収束半径を求める。 $f(z)=(1+z)e^z$ を $z=0$ の周りで冪級数展開して、収束半径を求める。

項別微積分を用いて冪級数展開を計算する。 $(\log(1+z))\'=\frac{1}{1+z}$ を用いて $z=0$ 中心の $\log(1+z)$ の冪級数展開と収束半径を求める。 $(\cos z)\'=-\sin z$ を用いて $z=0$ 中心の $\sin z$ の冪級数展開と収束半径を求める。 $z=0$ 中心の $\dfrac{1}{(1-z)^3}$ の冪級数展開と収束半径を求める。 $\dfrac{1}{\cos z}$ を $z=0$ 中心に冪級数展開し、収束半径を求める。 $\tan z$ を $z=0$ 中心に冪級数展開し、収束半径を求める。 $\dfrac{1}{1-\sin z}$ を $z=0$ 中心に冪級数展開し、収束半径を求める。