微分係数の積分表示と正則関数の解析性

コーシーの積分公式を用いることで、正則関数の非常に重要な性質である解析性、 つまり何回でも微分できまた冪級数展開可能であるという性質を導くことができる。

領域DDで正則な関数ffは任意の自然数nnに対してnn階微分可能で、ffのnn階導関数は

f(n)(z)=n!2πi∫Cf(ζ)(ζ−z)n+1dζ f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta

を満たす。 ここで、CCはその内部まで含めてDDに含まれる円で、zzは円の内部の点。

さらに正則関数はテイラー展開できることもわかる。

領域DDで正則な関数ffはa∈Da\in Dの周りで冪級数展開可能である。 つまり、あるaaの周りで収束する冪級数が存在して、aaの近傍のzzに対して

f(z)=∑n=0∞anzn f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n

となる。

コーシーの積分公式を用いてffの冪級数展開を計算する。 a∈Da\in Dとし、aaを中心とする半径の小さな円周CCとCCの内部の点zzに対し

f(z)=12πi∫Cf(ζ)ζ−zdζ f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta

である。

まずは被積分関数1ζ−z\dfrac{1}{\zeta-z}のz=az=aを中心とする冪級数展開を計算する。 その上で、無限和と積分の順序が交換できることを用いれば、ffの冪級数展開を求めることができる。

1ζ−z=1(ζ−a)−(z−a)=1(ζ−a)(1−(z−a/(ζ−a)))=1ζ−a×11−(z−a/(ζ−a))\frac{1}{\zeta-z} =\frac{1}{(\zeta-a)-(z-a)} =\frac{1}{(\zeta-a)(1-(z-a/(\zeta-a)))} =\frac{1}{\zeta-a}\times\frac{1}{1-(z-a/(\zeta-a))}

となる。

ここで、等比級数の和の公式を用いると、 ∣z−aζ−a∣<1\left\lvert\dfrac{z-a}{\zeta-a}\right\rvert<1が成り立つため、

11−((z−a)/(ζ−a))=(1+z−aζ−a+(z−aζ−a)2+⋯ )=∑n=0∞(z−a)n(ζ−a)n\frac{1}{1-((z-a)/(\zeta-a))} =\left(1+\frac{z-a}{\zeta-a}+\left(\frac{z-a}{\zeta-a}\right)^2+\cdots\right) =\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-a)^n}{(\zeta-a)^{n}}

となる。

よって、

1ζ−z=∑n=0∞(z−a)n(ζ−a)n+1\frac{1}{\zeta-z}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-a)^n}{(\zeta-a)^{n+1}}

である。

f(z)=12πi∫Cf(ζ)ζ−zdζ=12πi∫C∑n=0∞f(ζ)(ζ−a)n+1(z−a)ndζ f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=\frac{1}{2\pi i}\int_C\sum_{n=0}^\infty\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}(z-a)^nd\zeta

一様収束すれば順序交換できる。

12πi∫C∑n=0∞f(ζ)(ζ−a)n+1(z−a)ndζ=12πi∑n=0∞(∫Cf(ζ)(ζ−a)n+1dζ)(z−a)n \frac{1}{2\pi i}\int_C\sum_{n=0}^\infty\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}(z-a)^nd\zeta =\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^\infty\left(\int_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}d\zeta\right)(z-a)^n

よって、

f(z)=12πi∑n=0∞(∫Cf(ζ)(ζ−a)n+1dζ)(z−a)n f(z) =\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^\infty\left(\int_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}d\zeta\right)(z-a)^n

である。

冪級数展開できる関数は何回でも微分可能であり、その微分係数も冪級数の係数から計算できる。

∫Ci1z2(z−1)(z−2)dz \int_{C_i}\frac{1}{z^2(z-1)(z-2)}dz

を計算する。 ここで、C1C_1はz=0z=0中心で小さな半径を持つ円、C2C_2はz=1z=1中心で小さな半径を持つ円、C3C_3はz=2z=2中心で小さな半径を持つ円、 C4C_4はz=0,1,2z=0,1,2全てを囲む大きな半径をもつ円である。

C1C_1での積分は、f(z)=1(z−1)(z−2)f(z)=\dfrac{1}{(z-1)(z-2)}とみて、微分係数の積分表示を使うと

∫C1f(z)z2dz=2πif′(0)=\int_{C_1}\frac{f(z)}{z^2}dz=2\pi if'(0)=

となる。

C2C_2での積分は、f(z)=1z2(z−2)f(z)=\dfrac{1}{z^2(z-2)}とみて、コーシーの積分公式により

∫C2f(z)z−1dz=2πif(1)=−2πi\int_{C_2}\frac{f(z)}{z-1}dz=2\pi if(1)=-2\pi i

となる。

C3C_3での積分は、f(z)=1z2(z−1)f(z)=\dfrac{1}{z^2(z-1)}とみて、コーシーの積分公式により

∫C3f(z)z−2dz=2πif(2)=πi2\int_{C_3}\frac{f(z)}{z-2}dz=2\pi if(2)=\frac{\pi i}{2}

となる。

C4C_4での積分は、C1+C2+C3C_1+C_2+C_3がC4C_4にffがが正則な領域内で連続変形できることから、

∫C4=∫C1+∫C2+∫C3=\int_{C_4}=\int_{C_1}+\int_{C_2}+\int_{C_3}=

となる。