冪級数の収束半径

冪級数の収束については次のことがわかる。

べき級数の収束半径。 ∑n∣an∣∣z∣n\sum_n\lvert a_n\rvert \lvert z\rvert^nが収束する∣z∣\lvert z\rvertの上限をRRとする。 これが収束半径。 ∣z∣<R\lvert z\rvert<Rで絶対収束し、∣z∣>R\lvert z\rvert>Rで発散する。 ∣z∣=R\lvert z\rvert=Rにおいてはさまざまな可能性がある。

冪級数の収束半径を計算する方法として代表的なものが以下の二つ。

∑n=0∞anzn\sum_{n=0}^\infty a_nz^nの収束半径RRは

lim sup⁡n→∞∣an∣n=1R\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}=\frac{1}{R}

を満たす。

以下の極限が存在すれば等式が成立する。

lim⁡n→∞∣an+1∣∣an∣=1R\lim_{n\to\infty}\frac{\lvert a_{n+1}\rvert}{\lvert a_n\rvert}=\frac{1}{R}
∑n=0∞1nzn∑n=0∞nzn∑n=0∞8nz3n∑n=0∞3nz2n∑n=0∞(2n)!(n!)2zn\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n}z^n\\\\ \sum_{n=0}^\infty nz^n\\\\ \sum_{n=0}^\infty 8^nz^{3n}\\\\ \sum_{n=0}^\infty 3^nz^{2n}\\\\ \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{(n!)^2}z^n