線積分の基本的な性質

パラメータの取り替え

置換積分の公式によれば、複素線積分の値はパラメータの表示の仕方によらない。 より正確には、向きを保つ変換によって、複素線積分の値は変わらない。

曲線CCのパラメータ表示z(t)z(t)を単調増加で滑らかな関数t=ϕ(s)t=\phi(s)を用いて、w(s)=z(ϕ(s))w(s)=z(\phi(s))に置き換える。 ここで単調増加であることはポイント。 次に述べる向きに関係する。

置換積分の公式と、合成関数の微分公式を用いることで

∫abf(z(t))z′(t)dt=∫cdf(z(ϕ(s)))z′(ϕ(s))ϕ′(s)ds=∫cdf(w(s))w′(s)ds\int_a^bf(z(t))z'(t)dt=\int_c^df(z(\phi(s)))z'(\phi(s))\phi'(s)ds=\int_c^df(w(s))w'(s)ds

と計算できる。 つまり、どちらのパラメータ表示でも同じ結果が得られる。

曲線の向き

曲線の向きを逆にすると線積分の値は−1-1倍される。 曲線CCの向きを逆にした曲線を−C-Cと表すことにする。 ここでは、−C-CはCCのパラメータづけz(t),a≤t≤bz(t), a\leq t\leq bに対してz(−t),−b≤t≤−az(-t), -b\leq t\leq -aで定まるもの。

このとき

∫−Cf(z)dz=−∫Cf(z)dz\int_{-C}f(z)dz=-\int_Cf(z)dz

が成り立つ。

ddt(z(−t))=−ddtz(t)\dfrac{d}{dt}(z(-t))=-\dfrac{d}{dt}z(t)であるから、積分の値は−1-1倍される。

曲線の分割と結合

∫Cf(z)dz=∫C1f(z)dz+∫C2f(z)dz\int_Cf(z)dz=\int_{C_1}f(z)dz+\int_{C_2}f(z)dz

このことを用いて区分的に滑らかな曲線上の線積分を定めることができる。

絶対値

積分値の絶対値評価については次が成り立つ。

∣∫Cf(z)dz∣≤∫C∣f(z)∣∣dz∣\left\lvert\int_Cf(z)dz\right\rvert\leq\int_C\lvert f(z)\rvert \lvert dz\rvert

が成り立つ。

∣dz∣\lvert dz\rvertとは？ dx2+dy2\sqrt{dx^2+dy^2}であり、z=z(t)z=z(t)による引き戻しはz′(t)dtz'(t)dtである。

極限の交換

積分と極限の順序交換については次が成り立つ。

連続な複素関数の列{fn}n∈N\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}が「曲線CC上で」ffに一様収束するとする。 このとき、

lim⁡n→∞∫Cfn(z)dz=∫Clim⁡n→∞fn(z)dz=∫Cf(z)dz\lim_{n\to\infty}\int_Cf_n(z)dz=\int_C\lim_{n\to\infty}f_n(z)dz=\int_Cf(z)dz

がなりたつ。