線積分の計算例

簡単な線積分の計算例を見ていこう。 単位円や正方形など簡単な図形で計算する。 一次式など。 不定積分がある場合。 ポテンシャルがあれば始点と終点のみで決まることなど。

定数関数f(z)=1f(z)=1の線積分を調べる。

点OOをz=0z=0、点AAをz=1z=1、点BBをz=1+iz=1+iで定める。 関数f(z)=zf(z)=zについて、線分OA,AB,BOOA, AB, BOに沿った線積分を計算しよう。

それぞれのパラメータづけを

γ1(t)=t,t∈[0,1]γ2(t)=1+ti,t∈[0,1]γ3(t)=(1+i)(1−t),t∈[0,1] \gamma_1(t)=t, t\in[0,1]\\\\ \gamma_2(t)=1+ti, t\in[0,1]\\\\ \gamma_3(t)=(1+i)(1-t), t\in[0,1]\\\\

とする。

∫OAf(z)dz=∫01tdt=12 \int_{OA}f(z)dz =\int_{0}^{1}tdt =\frac{1}{2}∫ABf(z)dz=∫01(1+ti)idt=i−12 \int_{AB}f(z)dz =\int_{0}^{1}(1+ti)idt =i-\frac{1}{2}∫BOf(z)dz=∫01(1+i)(1−t)(−(1+i))dt=−12(1+i)2=−i \int_{BO}f(z)dz =\int_{0}^{1}(1+i)(1-t)(-(1+i))dt =-\frac{1}{2}(1+i)^2 =-i

となる。

特に三つの積分の和が00となることに注目しよう。

g(z)=z2,h(z)=zˉg(z)=z^2, h(z)=\bar{z}について上と同じ線分に沿った線積分を計算せよ。 OA,AB,BOOA, AB, BOのパラメータは上と同様に与える。

まずg(z)=z2g(z)=z^2について。

∫OAg(z)dz=∫01t2dt=13 \int_{OA}g(z)dz =\int_{0}^{1}t^2dt =\frac{1}{3}∫ABg(z)dz=∫01(1+ti)2idt=−1+23i \int_{AB}g(z)dz =\int_{0}^{1}(1+ti)^2idt =-1+\frac{2}{3}i∫BOg(z)dz=∫10t(1+i)2(1−t)2(−(1+i))dt=−13(1+i)3=−13(2i−2) \int_{BO}g(z)dz =\int_{1}^{0}t(1+i)^2(1-t)^2(-(1+i))dt =-\frac{1}{3}(1+i)^3 =-\frac{1}{3}(2i-2)

次にh(z)=zˉh(z)=\bar{z}について。

∫OAh(z)dz=∫01tdt=12 \int_{OA}h(z)dz =\int_{0}^{1}tdt =\frac{1}{2}∫ABh(z)dz=∫01(1−ti)idt=i+12 \int_{AB}h(z)dz =\int_{0}^{1}(1-ti)idt =i+\frac{1}{2}∫BOh(z)dz=∫01(1−i)(1+t)(−(1+i))dt=−2∫01(1+t)dt=−3 \int_{BO}h(z)dz =\int_{0}^{1}(1-i)(1+t)(-(1+i))dt =-2\int_{0}^{1}(1+t)dt =-3

CCを反時計回り単位円周とし、γ(t)=exp⁡(2πit),t∈[0,1]\gamma(t)=\exp(2\pi it), t\in[0,1]をそのパラメータづけとする。

∫Cdz=∫012πiexp⁡(2πit)dt=[exp⁡(2πit)]01=0 \int_C dz =\int_{0}^{1}2\pi i\exp(2\pi it)dt =[\exp(2\pi it)]^{1}_{0} =0

CCを反時計回り単位円周とする。

∫Czndz \int_Cz^ndz

を計算せよ。

上と同様にパラメータづけを与える。 n≠−1n\neq-1であれば

∫Czndz=∫01exp⁡(2nπit)2πexp⁡(2πit)dt=[1n+1exp⁡(2(n+1)πit)]1=0 \int_Cz^ndz =\int_{0}^{1}\exp(2n\pi it)2\pi\exp(2\pi it)dt =[\frac{1}{n+1}\exp(2(n+1)\pi it)]^{1} =0

である。

n=−1n=-1のとき、

∫C1zdz=∫01exp⁡(−2πit)2πiexp⁡(2πit)dt=∫012πidt=2πi \int_C\frac{1}{z}dz =\int_{0}^{1}\exp(-2\pi it)2\pi i\exp(2\pi it)dt =\int_{0}^{1}2\pi idt =2\pi i

となる。

dzz\dfrac{dz}{z}をz=1wz=\dfrac{1}{w}で変換すると、dz=−dww2dz=-\dfrac{dw}{w^2}であるから−dww-\dfrac{dw}{w}となる。 一方でdzz2\dfrac{dz}{z^2}であれば−dw-dwである。 ここにn=−1n=-1の特殊性がある。

CCを反時計回り単位円周とする。

∫Czˉdz \int_C\bar{z}dz

を計算せよ。

上と同様にパラメータづけを与える。

∫Czˉdz=∫01exp⁡(−2πit)2πiexp⁡(2πt)dt=2πi \int_C\bar{z}dz =\int_{0}^{1}\exp(-2\pi it)2\pi i\exp(2\pi t)dt =2\pi i

CCを中心aaで半径rrの反時計回り円周とする。

∫C(z−a)ndz \int_C(z-a)^ndz

を計算せよ。

γ(t)=exp⁡(2πit)+a,t∈[0,1]\gamma(t)=\exp(2\pi it)+a, t\in[0,1]をそのパラメータづけとする。

∫C(z−a)ndz={2πin=−10n≠−1 \int_C(z-a)^ndz = \begin{cases} 2\pi i& n=-1\\\\ 0& n\neq-1 \end{cases}