線積分の定義

「微分形式の引き戻し」により計算する。 置換積分、積分の変数変換公式、という観点で積分を定義する。

曲線の長さ、あるいはベクトル場の線積分などを必要に応じて復習する。

dz=dx+idydz=dx+idyで、f(z)dzf(z)dzという複素係数のC\mathbb{C}上の微分形式を、 γ:t↦z(t)\gamma:t\mapsto z(t)によって閉区間に引き戻す。 γ∗(dz)=d(γ(t))=γ′(t)dt\gamma^\ast(dz)=d(\gamma(t))=\gamma'(t)dtとなる。 これをz′(t)z'(t)とも書く。 z(t)=x(t)+iy(t)z(t)=x(t)+iy(t)と成分でかくと、z′(t)=x′(t)+iy′(t)z'(t)=x'(t)+iy'(t)であり、 dz=z′(t)dt=x′(t)dt+iy′(t)dtdz=z'(t)dt=x'(t)dt+iy'(t)dtとなる。

CCをUU内の向きのついた区分的C1C^1曲線とし、γ:[a,b]→U\gamma:[a,b]\to Uをそのパラメータづけとする。 このとき、ffのCCにそった線積分を

∫Cf(z)dz=∫abf(γ(t))γ′(t)dt\int_C f(z)dz=\int^b_af(\gamma(t))\gamma'(t)dt

と定義する。

これはR2\mathbb{R}^2における線積分と本質的な違いはない。 値が複素数になるが実部と虚部に分ければそれぞれ実数値の線積分である。 dz=dx+idydz=dx+idyと解釈できる。 線積分の定義においては、ffが正則でなくともよい。 あとで述べるように線積分は曲線のパラメータづけγ\gammaには依存しない。 このことは、積分の変数変換の公式により証明できる。

リーマン和を用いて定義することもできる？ 極限の取り方に注意が必要？ パラメータを用いて極限をとる？ lim⁡∑i=1f(zi+1−f(zi))(zi+1−zi)\lim\sum_{i=1}f(z_{i+1}-f(z_i))(z_{i+1}-z_i)として定義する。

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)とすると、f(z)dz=(u(x,y)dx−v(x,y)dy)+i(v(x,y)dx+u(x,y)dy)f(z)dz=(u(x,y)dx-v(x,y)dy)+i(v(x,y)dx+u(x,y)dy)である。 実部と虚部をそれぞれベクトル場と解釈すると、これらの回転はuy+vx,vy−uxu_y+v_x, v_y-u_xであり、コーシーリーマン方程式のもとで00となる。 グリーンの定理より、ある領域の境界における線積分は内部における回転の面積分だから、