等角性

上で述べたように、正則関数は一次式で近似できる関数と見ることができる。 $f$が$z=z_0$で正則であり$f'(z_0)\neq0$とする。 $z_0$を通る二曲線について$z_0$での接線を$f$でうつして得られる$f(z_0)$を通る二曲線の接線を考える。 このとき、うつす前の接線のなす角とうつした後の接線のなす角は一致する。

というのも、$z(t)$を曲線$C$のパラメータとし、$w(t)=f(z(t))$を$で$をうつした曲線のパラメータとすると、 $w'(t)=z'(t)f'(z(t))$より

となるためである。 この性質を等角性という。

正則関数の等角性 $z_0$で交わる適切な滑らかさの曲線$\gamma_1, \gamma_2$について、 $z_0$での接ベクトルのなす角と、 $f(z_0)$において$f(\gamma_1), f(\gamma_2)$の接ベクトルのなす角の大きさは等しい。 写像の微分により、ヤコビアンで解釈できる。