複素線積分の基本的な性質

11から−1-1への上半円をz(t)=eit,0≤t≤πz(t)=e^{it}, 0\leq t\leq \piでパラメータ表示するか、 w(s)=e2is,0≤s≤pi2w(s)=e^{2is}, 0\leq s\leq\dfrac{pi}{2}でパラメータ表示するか。

CCを単位円の反時計回り向きとする。 パラメータづけをz(t)=eit,0leqt≤2πz(t)=e^{it}, 0leq t\leq 2\piで与える。 これに対して、−C-Cはw(t)=e−it,−π≤t≤0w(t)=e^{-it}, -\pi\leq t\leq 0である。

積分路の変更

図が必要。 CCを円として、その直径を引いて二つに分けたものをC1,C2C_1, C_2とする。 向きを「反時計回り」につけることで、

∫C=∫C1+∫C2\int_C=\int_{C_1}+\int_{C_2}

となる。

同心円C,C′C, C'をその「直径」で二つに分けてC1,C2C_1, C_2とする。 向きを「反時計回り」につけることで

∫C1+∫C2=∫C−∫C′\int_{C_1}+\int_{C_2}=\int_C-\int_{C'}

となる。

長方形RRを44分割して、それぞれをR1,R2,R3,R4R_1, R_2, R_3, R_4とする。 向きを「反時計回り」につけることで

∫R=∑i∫Ri\int_R=\sum_i\int_{R_i}

となる。