微分係数と一次近似

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$の場合。 $f$が$a$で微分可能であるとは、極限

が存在することをいう。

これは、

を満たす実数$f'(a)$が存在することと同値。

また、$f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)$と同値である。

$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$の場合。 $f$が$(a,b)$で微分可能であるとは、

を満たす横ベクトル$f'(a)$が存在することと同値。

$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$の場合。 $f$が$(a,b)$で微分可能であるとは、

を満たす行列$A$が存在することと同値。

また、$f((a,b)+(h,k))=f(a,b)+A(h,k)+O(h,k)$と同値である。 この行列$A$をヤコビ行列という。 （上の場合の微分係数もヤコビ行列ということもできる）