複素数の四則演算

足し算と引き算はベクトル空間$\mathbb{R}^2$のものと同じである。 つまり実部同士と虚部同士をそれぞれ足し引きすればいい。

この定義のもとで、$a+bi=(a+0i)+(0+bi)$である。

掛け算は次のように定める。

これは、$i^2=-1$かつ実双線形（分配法則を満たす）という条件で特徴づけられる。

この定義のもとで、$bi=(b+0i)(0+1i)$である。

割り算をどう定義するかを考えよう。

とすることで、逆数を定めればよいことになる。

では逆数はどう定めるかというと、

となる複素数$x+yi$が$a+bi$の逆数であるから、この方程式を解けばよい。

すなわち

あるいは行列とベクトルを用いて

を解くことで、$x=\dfrac{a}{a^2+b^2}, y=\dfrac{-b}{a^2+b^2}$となり、

とわかる。

あるいは、$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$となることを利用して、分子分母に$a-bi$をかけると考えることもできる。

この四則演算について、通常の実数の和や積と同様に結合法則や交換法則、分配法則が成り立つことが証明できる。