星形領域上正則な関数の原始関数の存在

長方形に対するコーシーの積分定理を用いて領域が適切な条件を満たすとき原始関数の存在を証明する。

ここでは星形領域というものを考える。 例えば円板内部や長方形内部は星形領域である。

複素平面内の領域$D$が星形領域であるとは、ある$z_0\in D$が存在して、任意の$z\in D$と$z_0$が$D$内の線分で結べることをいう。

複素平面全体も星形領域である。

$D$を星形領域とし、$f$を$D$で正則な関数とする。 星形領域なので、上の条件を満たす$z_0$を一つ固定する。 結ぶ線分は唯一である。

$z\in D$に対し、

とおく。

この時点では積分経路を星形領域であることから保証される線分とする。 これは一意であるが、$z_0$には依存することに注意する。

この$F$が$f$の原始関数であることを証明しよう。 $z$を中心とする十分小さい半径を持つ円を、その円周も含めて$D$に含まれるようにとる。 この$D$について円板に対するコーシーの積分定理を用いることで、上の$F$が$f$の原始関数であることが証明できる（一旦詳細は省略する）