コーシーリーマンの方程式

複素関数としての微分と、実関数としての全微分を区別するための条件を記述するのがコーシーリーマン方程式である。

方程式

f(z)f(z)の実部と虚部をu,vu, vとし、z=x+iyz=x+iyの関数として、f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)とおく。 これに対してコーシーリーマンの方程式とは

{∂u∂x=∂v∂y∂u∂y=−∂v∂x\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y} \\\\ \dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x} \\\\ \end{cases}

のこと。

例

先ほどのいくつかの実例についてコーシーリーマン方程式を確かめよう。

f(z)=zf(z)=zに対し、実部はu(x,y)=xu(x,y)=xであり、虚部はv(x,y)=yv(x,y)=yである。

∂u∂x=∂v∂y=1−∂u∂y=∂v∂x=0 \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=1 -\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}=0

となり、コーシーリーマン方程式が成立する。

f(z)=z2,z3f(z)=z^2, z^3などについても直接確かめよ。

f(z)=zˉf(z)=\bar{z}に対し、実部はu(x,y)=xu(x,y)=xであり、虚部はv(x,y)=−yv(x,y)=-yである。

∂u∂x=1∂v∂y=−1 \frac{\partial u}{\partial x}=1 \frac{\partial v}{\partial y}=-1

なので、コーシーリーマン方程式は成立しない。

ヤコビ行列

コーシーリーマン方程式は、ffの微分係数の制約と思うことができる。 実二変数関数と思って近似した時の行列A=(abcd)A=\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \end{pmatrix}がa=d,b=−ca=d, b=-cとなるという条件。

関数f:C→Cf:\mathbb{C}\to\mathbb{C}をR2→R2\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2と見る。 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)を(u(x,y)v(x,y))\begin{pmatrix} u(x,y) \\ v(x,y) \end{pmatrix}と表すと、 ffのヤコビ行列は(uxvxuyvy)\begin{pmatrix} u_x & v_x \\\\ u_y & v_y \end{pmatrix}である。

これが(a−bba)\begin{pmatrix}a&-b\\\\b&a\end{pmatrix}の形になるというのがコーシーリーマン方程式である。

また、これはJ=(0−110)J=\begin{pmatrix}0&-1\\\\1&0\end{pmatrix}と交換する、つまりAJ=JAAJ=JAが成り立つという条件と同値である。

また、複素数を複素数倍としてC\mathbb{C}に定まる線形写像の基底1,i1,iによる行列表示により定まるC→M2(R)\mathbb{C}\to M_2(\mathbb{R})の像である。

コーシーリーマン方程式は、ベクトル(uxvx)\begin{pmatrix}u_x\\\\v_x\end{pmatrix}と(uyvy)\begin{pmatrix}u_y\\\\v_y\end{pmatrix}のなす角が90∘90^\circという条件である。 これが一般の曲線についても成り立つというのが等角性。

導出

複素関数の微分係数の定義から、h→0h\to 0の全ての近付け方について極限（正確には、全ての引き戻しの極限）

lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

が一定であった。

実部と虚部をf(z)=u(z)+iv(z)f(z)=u(z)+iv(z)と表すことにし、 さらに必要に応じてz=x+yiz=x+yiとしてf(x,y),u(x,y),v(x,y)f(x,y), u(x,y), v(x,y)のように考える。 hhを実数で近づけると

f′(z)=∂u∂x(z)+i∂v∂x(z) f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}(z)+i\frac{\partial v}{\partial x}(z)

である。

lim⁡h→0f(z+h)−f(z)h=lim⁡h→0f(x+h,y)−f(x,y)h=lim⁡h→0(u(x+h,y)−u(x,y)h+iv(x+h,y)−iv(x,y)h) \lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} =\lim_{h\to0}(\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+\frac{iv(x+h,y)-iv(x,y)}{h})

であり、それぞれの極限が存在すること（例えば絶対値評価）から、

=lim⁡h→0u(x+h,y)−u(x,y)h+ilim⁡h→0v(x+h,y)−v(x,y)h=∂u∂x+i∂v∂x =\lim_{h\to0}\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+i\lim_{h\to0}\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h} =\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}

一方で、h=ikh=ikを純虚数で近づけると

f′(z)=lim⁡ik→0f(x,y+k)−f(x,y)ik=−i∂u∂y(z)+∂v∂y(z) f'(z)=\lim_{ik\to0}\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{ik} =-i\frac{\partial u}{\partial y}(z)+\frac{\partial v}{\partial y}(z)

となる。 上と同様の議論で、h=ikh=ikとして

lim⁡h→0f(z+h)−f(z)h=lim⁡k→0f(x,y+k)−f(x,y)ik=lim⁡k→0(u(x,y+k)−u(x,y)ik+iv(x,y+k)−iv(x,y)ik)=lim⁡k→0u(x,y+k)−u(x,y)ik+ilim⁡k→0v(x,y+k)−v(x,y)ik=−i∂u∂x+∂v∂x \lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\lim_{k\to0}\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{ik} =\lim_{k\to0}(\frac{u(x,y+k)-u(x,y)}{ik}+\frac{iv(x,y+k)-iv(x,y)}{ik}) =\lim_{k\to0}\frac{u(x,y+k)-u(x,y)}{ik}+i\lim_{k\to0}\frac{v(x,y+k)-v(x,y)}{ik} =-i\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x}

この二つが一致するので、

∂u∂x=∂v∂y \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} −∂u∂y=∂v∂x -\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}

が成立する。

十分性

関数が正則ならコーシーリーマン方程式を満たす。 逆はどうか？ u,vu, vが全微分可能でありコーシーリーマン方程式を満たすならば正則である。 また、そのときf′(z)=ux+ivxf'(z)= u_x+iv_xが成立する。

また、よりわかりやすい十分条件として、u,vu, vがC1C^1級でコーシーあるときは正則である。

ディーバー

複素係数の偏微分作用素（方向微分）を導入する。

∂∂z=12(∂∂x+i∂∂y) \frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y})

とおき、

∂∂zˉ=12(∂∂x−i∂∂y) \frac{\partial}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y})

とおく。 コーシーリーマン方程式は∂∂zˉf=0\dfrac{\partial}{\partial \bar{z}}f=0と同値。 接空間を複素化してその実ベクトル空間としての取り替えたもの。