コーシーの積分定理
ここではコーシーの積分定理について説明する。 いくつかの関数について閉曲線での複素線積分がになったが、これは偶然ではない。
複素平面内の領域上の正則関数と、 内の閉曲線が適切な条件を満たすとき、以下の式が成り立つ。
この定理をいきなり一般的な形で証明することは難しく、いくつかの段階に分けて証明していく。 そのための準備として、閉曲線での積分と積分経路の比較、原始関数の存在と線積分の関係についてまず説明する。 その上で、長方形の周に対するコーシーの積分定理、円板に対するコーシーの積分定理、星形領域に対するコーシーの積分定理の三段階をまず証明する。 ここまで証明すれば、円周に対するコーシーの積分公式を証明することができ、その上で正則関数の解析性や留数定理を導くことができる。