コーシーの積分公式

正則関数f:D→Cf:D\to\mathbb{C}とa∈Da\in Dに対し、CrC_rを中心aaで半径rrの円周に反時計回りに向きをつけたものとする。 CrC_rおよびその内部がDDに含まれるならば、

f(a)=12πi∫Crf(z)z−adz f(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_r}\frac{f(z)}{z-a}dz

が成り立つ。

つまり、正則関数f(z)f(z)のz=az=aでの値は、その点を中心とする円周上のffの値の平均であると理解できる。

まず証明の方針を説明しよう。 被積分関数f(z)z−a\dfrac{f(z)}{z-a}はD∖{a}D\setminus\{a\}で正則なので、rrを小さくしても積分値は変化しない。 （ここは連続変形と考えることもできるし、星形領域において経路を取り替えると考えてもよい。二つの同心円を半分に区切って、それぞれは星形領域内で取り替えられる。）

r→0r\to0の極限を考えると、CrC_rは一点に近づくが、f(z)z−a\dfrac{f(z)}{z-a}は無限大に発散するのである種の不定形の極限のようになっている。 ここを処理するために、f(z)−f(a)z−a+f(a)z−a\dfrac{f(z)-f(a)}{z-a}+\dfrac{f(a)}{z-a}と変形する。

1つ目の項はaaでの微分可能性から、r→0r\to0で有限の値に収束し、線積分は00に収束する。 2つ目の項は極限を取らずとも直接計算できる。

この議論を整理したのが以下の証明である。

f(z)z−a=f(z)−f(a)z−a+f(a)z−a\frac{f(z)}{z-a}=\frac{f(z)-f(a)}{z-a}+\frac{f(a)}{z-a}

であるので、

∫Crf(z)z−adz=∫Crf(z)−f(a)z−adz+∫Crf(a)z−adz\int_{C_r}\frac{f(z)}{z-a}dz=\int_{C_r}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}dz+\int_{C_r}\frac{f(a)}{z-a}dz

である。

∫Crf(a)z−adz=2πif(a)\int_{C_r}\frac{f(a)}{z-a}dz=2\pi if(a)

であるので、残った積分が00であることを証明する。

ffがaaで正則であることから、

lim⁡z→af(z)−f(a)z−a=f′(a)\lim_{z\to a}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}=f'(a)

であり、あるMMを用いて任意の十分小さなrrに対しz∈Crz\in C_rならば、

∣f(z)−f(a)z−a∣<M\left\lvert\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\right\rvert < M

とできる。

そのような十分小さなrrに対し、

∣∫Crf(z)−f(a)z−adz∣≤∫Cr∣f(z)−f(a)z−a∣∣dz∣=∫CrM∣dz∣≤2πrM\lvert\int_{C_r}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}dz\rvert \leq \int_{C_r}\lvert\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\rvert\lvert dz\rvert =\int_{C_r}M\lvert dz\rvert \leq 2\pi rM

である。 ここで、コーシーの積分定理により左辺の積分はrrに依存しない。 一方で2πrM2\pi rMはr→0r\to 0で00に収束するため、

∣∫Crf(z)−f(a)z−adz∣=0\lvert\int_{C_r}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}dz\rvert=0

である。

コーシーの積分定理を用いた経路の連続変形により、閉曲線の形を取り替えることもできる。

正則関数f:D→Cf:D\to \mathbb{C}とa∈Da\in Dとする。 閉曲線CCがD∖{a}D\setminus\{a\}において、aa中心の十分小さな半径rrの円周反時計回りに連続変形できるとする。

このとき、

f(a)=12πi∫Cf(z)z−adz f(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-a}dz

が成り立つ。

例題。

C=B2(0)C=B_2(0)とする。

∫Cezz−1dz=2πie∫Cezz2−1dz=∫Cez2(1z−1−1z+1)dz \int_C\frac{e^z}{z-1}dz= 2\pi ie\\\\ \int_C\frac{e^z}{z^2-1}dz=\int_C\frac{e^z}{2}(\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z+1})dz