積分計算への応用

積分定理を使うことで、 初等的には計算の難しい積分を計算できる。

フレネル積分

∫0∞cos⁡(x2)dx=∫0∞sin⁡(x2)dx=π22 \int^\infty_{0}\cos(x^2)dx=\int^\infty_{0}\sin(x^2)dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}

を計算しよう。

正の実数RRに対し、曲線CRC_Rを原点中心で半径RRの扇型で弧が偏角が00からπ4\dfrac{\pi}{4}の部分に反時計回りに向きをつけたものとする。 この曲線に沿ってf(z)=e−z2f(z)=e^{-z^2}を積分する。

曲線のパラメータづけを

γ1(t)=t,t∈[0,R]γ2(t)=Rexp⁡(iπ4t),t∈[0,1]γ3(t)=(R−t)exp⁡(iπ4),t∈[0,R] \gamma_1(t)=t, t\in[{0},R]\\\\ \gamma_2(t)=R\exp(i\dfrac{\pi}{4}t), t\in[{0},1]\\\\ \gamma_3(t)=(R-t)\exp(i\dfrac{\pi}{4}), t\in[{0},R]

とする。

これらでの積分は

∫0Rexp⁡(−t2)dt+∫01exp⁡(−R2exp⁡(iπ2t))iRπ4exp⁡(iπ4t)dt+∫0Rexp⁡(−(R−t)2i)(−exp⁡(iπ4))dt \int_{0}^R\exp(-t^2)dt+\int_{0}^1\exp(-R^2\exp(i\frac{\pi}{2}t))iR\frac{\pi}{4}\exp(i\frac{\pi}{4}t)dt+\int_{0}^R\exp(-(R-t)^2i)(-\exp(i\frac{\pi}{4}))dt

となる。

第二項は

∣∫01exp⁡(−R2exp⁡(iπ2t))iRπ4exp⁡(iπ4t)dt∣≤∫01∣exp⁡(−R2exp⁡(iπ2t))iRπ4exp⁡(iπ4t)∣dt≤∫01Rexp⁡(−R2cos⁡(π2t))π4dt \left\lvert \int_{0}^1\exp(-R^2\exp(i\frac{\pi}{2}t))iR\frac{\pi}{4}\exp(i\frac{\pi}{4}t)dt\right\rvert \leq\int_{0}^1\lvert \exp(-R^2\exp(i\frac{\pi}{2}t))iR\frac{\pi}{4}\exp(i\frac{\pi}{4}t)\rvert dt\\\\ \leq\int_{0}^1R\exp(-R^2\cos(\frac{\pi}{2}t))\frac{\pi}{4}dt

となる。

さらに、t∈[0,1]t\in[0,1]においてcos⁡π2t≥1−t\cos\dfrac{\pi}{2}t\geq1-tであることから、

∫01Rexp⁡(−R2cos⁡(π2t))π4dt≤π4R∫01exp⁡(−R2(1−t))dt=π4R∫10exp⁡(−R2s)d(1−s)=π4R∫01exp⁡(−R2s)ds=π4R−1R2[exp⁡(−R2s)]01=π4R(1−exp⁡(−R2)) \int_{0}^1R\exp(-R^2\cos(\frac{\pi}{2}t))\frac{\pi}{4}dt \leq\frac{\pi}{4}R\int_{0}^1\exp(-R^2(1-t))dt\\\\ =\frac{\pi}{4}R\int_1^{0}\exp(-R^2s)d(1-s)\\\\ =\frac{\pi}{4}R\int_{0}^1\exp(-R^2s)ds\\\\ =\frac{\pi}{4}R\frac{-1}{R^2}[\exp(-R^2s)]^1_{0}\\\\ =\frac{\pi}{4R}(1-\exp(-R^2))

となり、R→0R\to0で00に収束することがわかる。

第一項の計算には

∫−∞∞exp⁡(−x2)dx=π \int^\infty_{-\infty}\exp(-x^2)dx=\sqrt{\pi}

を用いる。 第一項についてR→∞R\to\inftyでの極限は

∫0∞exp⁡(−t2)dt=π2 \int^\infty_{0}\exp(-t^2)dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}

となる。

次に第三項について、

∫0Rexp⁡(−(R−t)2i)(−exp⁡(iπ4))dt=∫R0exp⁡(−s2i)(−exp⁡(iπ4))d(R−s)=−exp⁡(iπ4)∫0Rexp⁡(−s2i)ds=−exp⁡(iπ4)∫0Rcos⁡(−s2)+isin⁡(−s2)ds \int_{0}^R\exp(-(R-t)^2i)(-\exp(i\frac{\pi}{4}))dt =\int_R^{0}\exp(-s^2i)(-\exp(i\frac{\pi}{4}))d(R-s)\\\\ =-\exp(i\frac{\pi}{4})\int_{0}^R\exp(-s^2i)ds\\\\ =-\exp(i\frac{\pi}{4})\int_{0}^R\cos(-s^2)+i\sin(-s^2)ds

となる。

f(z)=exp⁡(−z2)f(z)=\exp(-z^2)は扇型の内部で正則だから、 一周積分すると00になる。

最後にR→∞R\to\inftyの極限をとってをまとめると、

π2−exp⁡(iπ4)∫0∞cos⁡(−s2)+isin⁡(−s2)ds=0 \frac{\sqrt{\pi}}{2}-\exp(i\frac{\pi}{4})\int_{0}^\infty\cos(-s^2)+i\sin(-s^2)ds=0

となるので、実部と虚部をそれぞれ比較することで

∫0∞cos⁡(−x2)ds=∫0∞sin⁡(−x2)ds=π2 \int_{0}^\infty\cos(-x^2)ds=\int_{0}^\infty\sin(-x^2)ds=\sqrt{\frac{\pi}{2}}

となる。

∫0∞sin⁡xxdx=π2 \int^\infty_{0}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}

を証明する。

R,T,ϵR, T, \epsilonをそれぞれ適当な大きさの実数とし、 C1C_1をからからR+Tiを結ぶ線分、を結ぶ線分、C_2を+Tiを+Tiから−R+Ti-R+Tiを結ぶ線分、 C3C_3を−R+Ti-R+Tiから−R-Rを結ぶ線分、C4C_4を−R-Rから−ϵ-\epsilonを結ぶ線分、 C5C_5を原点中心で半径ϵ\epsilonの上半円周を時計回りに向きをつけたもの、 C6C_6をϵ\epsilonからRRを結ぶ線分とする。

この曲線に沿ってf(z)=eizzf(z)=\dfrac{e^{iz}}{z}を積分する。 上の曲線で囲まれた領域の内部でf(z)f(z)は正則だから、一周積分した値は00である。

まずC1C_1ではパラメータをR+tiR+tiとつけることで、

∣∫0Texp⁡(iR−t)∣R+tiidt∣≤∫0T∣exp⁡(iR−t)∣R+tidt∣≤∫0Texp⁡(−t)Rdt≤∫0∞exp⁡(−t)Rdt≤1R \lvert \int_{0}^T\frac{\exp(iR-t) \rvert{R+ti}idt}\rvert \leq\int_{0}^T\lvert \frac{\exp(iR-t) \rvert{R+ti}}dt\rvert \leq\int_{0}^T\frac{\exp(-t)}{R}dt \leq\int_{0}^\infty\frac{\exp(-t)}{R}dt \leq\frac{1}{R}

となり、これは任意のTTについてR→∞R\to\inftyで00に収束する。 C3C_3についても同様。

C2C_2ではパラメータをt+Tit+Tiとつけることで

∣∫R−R∣exp⁡(it−T)t+Tidt≤1T∫R−Rexp⁡(−T)dt=2Re−TT \lvert \int_R^{-R} \rvert\frac{\exp(it-T)}{t+Ti}dt \leq\frac{1}{T}\int^{-R}_R\exp(-T)dt =\frac{2Re^{-T}}{T}

となり、これは任意のRRについてT→∞T\to\inftyで00に収束する。

C4,C6C_4, C_6での積分については

∫−R−ϵexp⁡(iz)zdz+∫ϵRexp⁡(iz)zdz=∫ϵRexp⁡(−iz)−zdz+∫ϵRexp⁡(iz)zdz=2i∫ϵRsin⁡zzdz \int_{-R}^{-\epsilon}\frac{\exp(iz)}{z}dz+\int_\epsilon^R\frac{\exp(iz)}{z}dz= \int_\epsilon^R\frac{\exp(-iz)}{-z}dz+\int_\epsilon^R\frac{\exp(iz)}{z}dz= 2i\int^R_\epsilon\frac{\sin z}{z}dz

となる。 ϵ→0,R→∞\epsilon\to0, R\to\inftyの極限を取ることで求めるべき積分値に収束する。

最後にC5C_5での積分について見てみよう。 exp⁡(iz)\exp(iz)は全複素平面で正則函数であり、z=0z=0の周りのテイラー展開を考えることで

exp⁡(iz)z=z−1+g(z) \frac{\exp(iz)}{z}=z^{-1}+g(z)

と収束半径∞\inftyの冪級数g(z)g(z)を用いて表すことができ、 このg(z)g(z)は∣z∣≤1\lvert z \rvert\leq1に対し∣g(z)∣≤M\lvert g(z) \rvert\leq MなるMMが存在する。 このことにより、

∣∫C5g(z)dz∣≤πϵM \lvert \int_{C_5}g(z)dz\rvert\leq\pi\epsilon M

となり、ϵ→0\epsilon\to0で00に収束する。 一方、直接計算により

∫C5z−1dz=−πi \int_{C_5}z^{-1}dz=-\pi i

となるから、ϵ→0\epsilon\to0の極限で

∫C5exp⁡(iz)zdz→−πi \int_{C_5}\frac{\exp(iz)}{z}dz\to-\pi i

である。

これらを全てまとめ、T→∞,R→∞,ϵ→0T\to\infty, R\to\infty, \epsilon\to0の順に極限を取ることで

2i∫0∞sin⁡xxdx−πi=0 2i\int^\infty_{0}\frac{\sin x}{x}dx-\pi i=0

が得られる。

12π∫−∞∞exp⁡(−x2−itx)dx \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^\infty_{-\infty}\exp(-x^2-itx)dx

を計算しよう。

z=b,b+it2,−a+it2,−az=b, b+\dfrac{it}{2}, -a+\dfrac{it}{2}, -aを頂点にもつ長方形の周に反時計回りに向きをつけた曲線をCCとする。 このとき、虚軸と平行な辺での積分は

∣∫bb+it/2f(z)dz∣\left\lvert \int^{b+it/2}_b f(z)dz\right\rvert ≤e−b2∫0t/2ey2dy≤t2e−b2et2/4\leq e^{-b^2}\int_{0}^{t/2} e^{y^2}dy \leq \frac{t}{2}e^{-b^2}e^{t^2/4}

となり、これはb→∞b\to\inftyで00に収束する。 もう一つの辺についても同様。

したがって、CCでの積分が00であることから、さらにa,b→∞a,b\to\inftyでの極限を考えると、 長方形の残りの辺での積分値は一致する。

よって

12π∫−∞∞exp⁡(−x2−itx)dx=e−t2/42π∫−∞∞exp⁡(−(x+it/2)2)dx=e−t2/42π∫−∞∞exp⁡(−x2)dx=12e−t2/4 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^\infty_{-\infty}\exp(-x^2-itx)dx= \frac{e^{-t^2/4}}{\sqrt{2\pi}}\int^\infty_{-\infty}\exp(-(x+it/2)^2)dx= \frac{e^{-t^2/4}}{\sqrt{2\pi}}\int^\infty_{-\infty}\exp(-x^2)dx= \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-t^2/4}

と計算できる。