円板上正則な関数の原始関数の存在

長方形に対するコーシーの積分定理を用いて領域が適切な条件を満たすとき原始関数の存在を証明する。

$D$を円板とする。 $f:D\to\mathbb{C}$を正則関数とし、$C$を$D$内の閉曲線とする。 このとき、

である。

これを証明するためには、$f$が$D$上一価正則な原始関数$F$を持つことを示せばよい。

そこで、まず$D$上の一価関数$F$を以下のように定義する。

次にこの$F$が$f$の原始関数、つまり$F$は正則でその導関数が$f$であることを証明する。 そのために、$F$がコーシーリーマン方程式を満たすことを確かめるが、そこで長方形に対するコーシーの積分定理を用いる。

（二つの経路が一致してしまう状況についてはもう少しきちんと議論する必要がある。）

次に積分経路を次のようにとる。 まず、原点$0$から実軸に平行に移動し、その後虚軸に平行に移動する。 円板なので必ずこのような経路を取ることができ、一意的である。

長方形に対するコーシーの積分定理から、積分経路を次のようにとっても積分値は一致する。 $a$から虚軸に平行に移動し、その後実軸に平行に移動する。

このことを利用すると、$F$が正則であり、その導関数が$f$であることを証明できる。

$x$軸と並行な$C_2$と$y$軸と平行な$C_1$を用いて$a$と$z$を繋ぐ。

となり、同様にして

となる。 つまり、$F$がコーシーリーマン方程式を満たすことがわかり、さらに$f$が正則なので特に連続だから$F$は$C^1$急である。 よって、$F(z)$が正則であり、$F'(z)=f(z)$であることもわかる。

前に見たように、原始関数を持つならば線積分は積分経路によらず端点のみで決まる。 特に閉曲線での積分は$0$になる。 これが$D$が円板の場合のコーシーの積分定理。

$D$が円板から原点を除いた領域の場合には、上の議論はできない。 なので、この場合にはコーシーの積分定理は成立せず、実際線積分が経路に依存するような関数$f$が存在する。