偏角の原理

有理形関数 $f(z)$ を $z=a$ の周りでローラン級数展開することで、 $f'(z)/f(Z)$ の $z=a$ での留数が $f(z)$ の $z=a$ での極や零点の位数を用いて計算できることがわかる。このことを使うと以下がわかる。

$f(z)$ は $\Omega$ で有理形で、その零点を $a_1,\ldots,a_n$ 、極を $b_1,\ldots,b_m$ とする。 $\Omega$ に関して $0$ にホモローグで零点も極も通らない任意のサイクル $C$ に対し

\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f'(z)}{f(z)}dz=\sum_{i=1}^nn(C,a_i)-\sum_{j=1}^mn(C,b_j)

となる。

$f$ による $C$ の像を $\Gamma$ とし、 $w=f(z)$ とすると

\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f'(z)}{f(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\frac{dw}{w}=n(\Gamma,0)

となる。このことから、この積分は $f(z)$ の偏角の増加量と解釈できる。

さらに次のように一般化できる。 $g(z)$ を $\Omega$ で正則とすると、 $g(z)\dfrac{f'(z)}{f(z)}$ は $f$ の $h$ 位の零点 $z=a$ では留数 $hg(a)$ をもち、 $f$ の $h$ 位の極では留数 $-hg(a)$ を持つ。よって

\frac{1}{2\pi i}\int_Cg(z)\frac{f'(z)}{f(z)}dz=\sum_{i=1}^nn(C,a_i)g(a_i)-\sum_{j=1}^mn(C,b_j)g(b_j)

が成り立つ。